Натуральные уравнения

Натуральные уравнения — соотношения на кривизну и кручение бирегулярных кривых. Замечательное свойство натуральных уравнений в том, что по ним можно однозначно восстановить кривую. Натуральные уравнения, уравнения, выражающие кривизну ${\displaystyle k}$ и кручение ${\displaystyle \varkappa }$ кривой как функции её дуги: ${\displaystyle k=k(s)}$, ${\displaystyle \varkappa =\varkappa (s)}$. Наименование «Натуральные уравнения» объясняется тем обстоятельством, что функции ${\displaystyle k(s)}$ и ${\displaystyle \varkappa (s)}$ не зависят от положения кривой в пространстве (от выбора системы координат), а зависят только от формы кривой. Две трижды непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие одинаковые натуральные уравнения, могут отличаться друг от друга только положением в пространстве. Иначе говоря, форма кривой однозначно определяется её натуральными уравнениями. Если заданы две непрерывные функции ${\displaystyle k(s)}$ и ${\displaystyle \varkappa (s)}$, из которых первая положительная, то всегда существует кривая, для которой данные функции являются соответственно кривизной и кручением.

Пусть ${\displaystyle f(s)}$ — произвольная гладкая функция. В таком случае существует кривая ${\displaystyle \gamma }$, единственная с точностью до сохраняющего ориентацию движения плоскости, параметризованная натуральным параметром ${\displaystyle s}$ и такая, что ${\displaystyle f(s)=k_{o}(s)}$ во всех точках кривой. Здесь величина ${\displaystyle k_{o}(s)}$ — ориентированная кривизна кривой ${\displaystyle \gamma }$.

Пусть ${\displaystyle f(s)}$ и ${\displaystyle g(s)}$ — две произвольные гладкие функции, причём ${\displaystyle f(s)}$ положительна. Тогда существует кривая ${\displaystyle \gamma }$, параметризованная натуральным параметром ${\displaystyle s}$, кривизна и кручение которой равны в каждой точке ${\displaystyle f(s)}$ и ${\displaystyle g(s)}$ соответственно. Такая кривая единственна с точностью до движения пространства, сохраняющего ориентацию.