Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы $M$ с элементами из некоторого поля $K$ невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

$M$ обратима, то есть существует обратная матрица^[1];
строки (столбцы) матрицы $M$ линейно независимы^[2];
ранг матрицы $M$ равен её размерности^[3].

Совокупность всех невырожденных матриц порядка $n$ образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Полная линейная группа обычно обозначается как $GL(n)$ ^[4]. Если требуется явно указать, какому полю $K$ должны принадлежать элементы матрицы, то пишут $GL(n,K)$ ^[5]. Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка $n$ обозначается $GL(n,\mathbb {R} )$ , а если комплексные числа, то $GL(n,\mathbb {C} )$ .

Матрица порядка $n$ заведомо невырождена, если это^[6]:

диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу $D(n,K)$ );
верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу $T(n,K)$ );
нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;
унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу $UT(n,K)$ ).
матрица $M$ является результатом взятия матричной экспоненты от матрицы $A\in M_{n}(\mathbb {C} )$ , то есть $M=e^{A}$

Литература

Кострикин, А. И. Введение в алгебру (рус.). — М.: Наука, 1977. — 496 с.
Кострикин, А. И., Манин, Ю. И. Линейная алгебра и геометрия (рус.). — М.: Наука, 1986. — 304 с.
Рохлин, В. А., Фукс, Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы (рус.). — М.: Наука, 1977.
Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц (рус.). — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий математические объекты линейной природы: векторные пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».

Вы́рожденная ма́трица — квадратная матрица $\text{[math]}$ определитель которой $\text{[math]}$ равен нулю.

Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю.

Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение. Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная матрица, поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц.

Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Специальная ортогональная группа — группа вещественных ортогональных матриц размера $\text{[math]}$ с определителем, равным 1. Служит группой вращений $\text{[math]}$ -мерного арифметического вещественного пространства.

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований $\text{[math]}$ -мерного векторного пространства $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму $\text{[math]}$ на $\text{[math]}$ .

Разложе́ние ма́трицы — представление матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения матриц, обладающих некоторыми определёнными свойствами. У каждого класса матричных разложений имеется своя область применения; в частности, многие эффективные алгоритмы вычислительной линейной алгебры основаны на построении соответствующих матричных разложений.

Полная линейная группа относится к двум различным понятиям.

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат $\text{[math]}$ . Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

Симплектическая матрица — это матрица M размера 2n×2n с вещественными элементами, которая удовлетворяет условию

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Теорема Ли — Колчина — это теорема теории представлений линейных алгебраических групп. Теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли.

Классификация Бьянки — классификация вещественных трёхмерных алгебр и групп Ли. Названа в честь Луиджи Бьянки, который доказал её в 1898 году.

Подалгебра Картана — нильпотентная подалгебра Ли $\text{[math]}$ , равная своему нормализатору:

$\text{[math]}$ для некоторого $\text{[math]}$ (нильпотентность),
$\text{[math]}$ (самонормализованность).

Представление Бурау — линейное представление группы кос, введённое в 1935 году немецким математиком Вернером Бурау.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.