Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе и представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат» или «в куб».
Странное число — натуральное число, которое является избыточным, но не является полусовершенным. Другими словами, сумма собственных делителей числа больше самого числа, но сложением подмножества делителей нельзя получить само число.
Га́уссовы це́лые чи́сла — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.
Метод факторизации Ферма — алгоритм факторизации нечётного целого числа 
, предложенный Пьером Ферма (1601—1665) в 1643 году.
В математике свободным от квадратов, или бесквадратным, называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10 — свободное от квадратов, а 18 — нет, так как 18 делится на 9 = 32. Начало последовательности свободных от квадратов чисел таково:
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … последовательность A005117 в OEIS
Конгруэ́нтное число — натуральное число, равное площади прямоугольного треугольника со сторонами, длины которых выражаются рациональными числами. Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством.
Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.
Центрированное квадратное число — это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки, находящиеся на квадратных слоях.
Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.
Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике – это доказательство несуществования в теории чисел, единственное полное доказательство, оставленное Пьером Ферма. Теорема имеет несколько эквивалентных формулировок:
- Если три квадратных числа образуют арифметическую прогрессию, то шаг прогрессии не может быть квадратом.
- Не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки.
- Прямоугольный треугольник, у которого длины всех трёх сторон являются рациональным числом, не может иметь площадь, равную квадрату рационального числа. Площадь, определённая таким образом, называется конгруэнтным числом, так что никакое конгруэнтное число не может быть квадратом.
- Прямоугольный треугольник и квадрат с одинаковой площадью не могут иметь соизмеримые стороны.
- Единственными рациональными точками на эллиптической кривой
являются три тривиальные точки (0,0), (1,0) и (−1,0). - Диофантово уравнение
не имеет целых решений.
Целочисленный треугольник — это треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить как треугольник, стороны которого являются рациональными числами. Любой рациональный треугольник можно привести к целочисленному, так что нет существенной разницы между целочисленными и рациональными треугольниками. Заметим, однако, что существуют и другие определения «рационального треугольника». Так, в 1914 Кармайкл использовал этот термин для обозначения того, что мы теперь называем героновым треугольником. Сомос (Somos) использует термин для треугольников, отношения сторон которого являются рациональными числами. Конвей и Гай определяют рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и углами — в этом случае рациональными будут только равносторонние треугольники с рациональными сторонами.
Число Оре — натуральное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Понятие числа Оре введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:
- 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18 600, 18 620, ….
Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.
Практичное число или панаритмичное число — это положительное целое число n, такое что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа n. Например, 12 является практичным числом, поскольку все числа от 1 до 11 можно представить в виде суммы делителей 1, 2, 3, 4 и 6 этого числа — кроме самих делителей, мы имеем 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 и 11 = 6 + 3 + 2.
