Геоме́трия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. В практических задачах геометрия позволяет предсказывать геометрические размеры тела, зная другие геометрические размеры этого тела с помощью известных геометрических законов.
Аксио́ма, или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Теорема Дезарга является одной из основных теорем проективной геометрии.
Проекти́вная пло́скость — двумерное проективное пространство. Важным частным случаем является вещественная проективная плоскость.
Евкли́дова геоме́трия — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида. Это геометрия ортогональной группы.
Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции.
Аксио́ма паралле́льности Евкли́да, или пя́тый постула́т, — одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида:
И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Неархимедова геометрия — совокупность геометрических предложений, вытекающих из систематических групп аксиом: инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности системы аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии, и не связанных с аксиомами непрерывности . В узком смысле неархимедова геометрия описывает геометрические свойства прямой, на которой не верна аксиома Архимеда . Для исследования геометрических соотношений в неархимедовой геометрии вводится исчисление отрезков — неархимедова числовая система, рассматриваемая как специальная комплексная числовая система. Определяются понятия отрезка, отношения отрезков, сложение и умножение отрезков. В частности, вводится дезаргова числовая система — неархимедова система, в которой умножение отрезков некоммутативно. С помощью этих числовых систем в неархимедовой геометрии строится теория подобия фигур, теория площадей и т. д.
Неевкли́дова геоме́трия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.
Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.
Важное свойство проективной плоскости — «симметрия» ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к концепции двойственности: один, использующий язык «принципа двойственности», позволяет объявить ряд теорем двойственными друг к другу, при этом двойственная к верной теореме тоже верна; и другой, функциональный подход, основанный на специальном отображении двойственности. Связь между подходами состоит в том, что двойственная теорема получается применением отображения двойственности к каждому объекту исходной. Возможен и координатный подход.
«Нача́ла» — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии и теории чисел. Считается вершиной античной математики, итогом её трёхсотлетнего развития и основой для последующих исследований. «Начала», наряду с двумя трудами Автолика из Питаны — древнейшее из дошедших до современности античных математических сочинений; все труды предшественников Евклида известны только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов.
Проективная модель — модель планиметрии Лобачевского. Предложена итальянским математиком Эудженио Бельтрами. Немецкий математик Феликс Клейн разработал её независимо.
Конечная геометрия — геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.
Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы
«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».
Недезаргова плоскость — это проективная плоскость, не удовлетворяющая теореме Дезарга, другими словами, не являющаяся дезарговой. Теорема Дезарга верна во всех проективных пространств размерности, не равной 2, то есть, для всех классических проективных геометрий над полем, но Гильберт обнаружил, что некоторые проективные плоскости не удовлетворяют теореме.
Геометрия инцидентности — раздел классической геометрии, изучающий структуры инцидентности, например принадлежность точки прямой.
Основания геометрии — область математики, изучающая аксиоматические системы евклидовой геометрии, а также различных неевклидовых геометрий. Основные вопросы состоят в полноте, независимости и непротиворечивости аксиоматических систем. Основания геометрии также связаны с вопросом преподавания геометрии.
Плоскость Молтона — пример аффинной плоскости, в которой не выполняется теорема Дезарга. Названа в честь американского астронома Фореста Рэя Молтона.
