Неравенство Бернштейна (математический анализ)

Неравенство Бернштейна связывает норму производной многочлена с нормой самого многочлена.

Формулировка

Пусть $f_{n}$ — вещественнозначный тригонометрический многочлен степени $n$ , тогда:

\|f_{n}'\|_{\infty }\leqslant n\cdot \|f_{n}\|_{\infty }

История

Неравенство с константой $2n$ было установлено российским математиком Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году.
Уточнение было получено Эдмундом Ландау, он доказал неравенство с оптимальной константой $n$ .
В 1914 году Марсель Рис перенёс последнее неравенство на случай тригонометрических полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.
А. Зигмунд в 1933 году перенес его на пространства $L^{p}$ при $p\geqslant 1$ :
$\|f_{n}'\|_{p}\leqslant n\|f_{n}\|_{p}$ .
В. В. Арестов в 1979 году доказал справедливость неравенства и при ${\displaystyle 0<semantics><mrow class=MJX-TeXAtom-ORD><mstyle displaystyle=true scriptlevel=0><mn>0</mn><mo><</mo><mi>p</mi><mo><</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation encoding=application/x-tex>{\displaystyle 0<p<1}</annotation></semantics></math></span><img alt=$
Кроме того, стали развиваться и так называемые неравенства Бернштейна для разных метрик вида

\|f_{n}'\|_{p}\leqslant C(n,p)\|f_{n}\|_{\infty }

Ссылки

Парфененков Андрей Владимирович НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ В ПЛОСКОСТИ

Похожие исследовательские статьи

Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее значение случайной величины. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения. Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.

Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность и полное по метрике, порождённой скалярным произведением. Названо в честь Давида Гильберта.

Ряд Фурье́ — представление функции $\text{[math]}$ с периодом $\text{[math]}$ в виде ряда

\text{[math]}

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена.

Теорема Декарта или правило знаков Декарта, — теорема, утверждающая, что число положительных корней многочлена с вещественными коэффициентами равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов или на чётное число меньше этого числа.

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция $\text{[math]}$ комплексных переменных $\text{[math]}$ ограничена, то есть

\text{[math]}

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в $\text{[math]}$ является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в $\text{[math]}$ этой функцией.

$\text{[math]}$ — это пространства измеримых функций, таких, что их $\text{[math]}$ -я степень интегрируема, где $\text{[math]}$ .

Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.

Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств $\text{[math]}$ .

Неравенство Джексона — Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким-либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример:

\text{[math]}

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Степенью многочлена одной комплексной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности. Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p(x) степени n возможно представить в виде a(x − x₁)…(x − x_n), где x₁, …, x_n — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа a ≠ 0 — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a(x − x₁)…(x − x_n), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых-одночленов, тождественно не равных нулю.

Система Риса — такая система векторов $\text{[math]}$ в гильбертовом пространстве $\text{[math]}$ с заданными постоянными $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , что для любой последовательности комплексных чисел $\text{[math]}$ ряд $\text{[math]}$ сходится по норме в $\text{[math]}$ , причём выполнено:

\text{[math]}

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

Теорема Хассе об эллиптических кривых, также называемая границей Хассе, даёт оценку числа точек на эллиптической кривой над конечным полем, причём ограничивает значения как сверху, так и снизу. Теорема Хассе эквивалентна определению абсолютного значения корней локальной дзета-функции Е. В этом виде её можно рассматривать как аналог гипотезы Римана для поля функций, ассоциированного с эллиптической кривой.

Теорема Мэйсона — Стотерса — аналог abc-гипотезы для многочленов. Названа в честь Стотерса, который опубликовал её в 1981 году, и Мейсона, который вновь открыл её после этого.

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке. Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций, то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как его расширение.

Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций — утверждение о необходимых и достаточных условиях квазианалитичности класса функций. Была доказана Карлеманом в 1926 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.