Для неравенство следует из определения выпуклой функции как функции, надграфик которой является выпуклым множеством, и, следовательно, хорда, стягивающая точки и , лежит выше графика. Неравенство Йенсена означает это соотношение для точек графика и хорды, абсциссы которых равны .
Допустим, что неравенство верно для какого-либо натурального числа, докажем, что оно верно и для , то есть
.
С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых одним слагаемым
;
это даст возможность воспользоваться неравенством для и установить, что выражение выше не превосходит суммы
.
Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для . Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано.
Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.
Геометрическая интерпретация
Точка является выпуклой комбинацией точек плоскости, лежащих на графике функции . Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции , а это и означает, что .
Интегральная формулировка
Пусть — выпуклая функция, — вероятностная мера, а функции и интегрируемы. Тогда[1]
↑Durrett R.. Probability: Theory and Examples (англ.). — 5th ed.. — Cambridge University Press, 2019. — P. 25. — doi:10.1017/9781108591034.
Литература
Зорич В. А.Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.
Фихтенгольц Г. М.Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.
Похожие исследовательские статьи
Математи́ческое ожида́ние — понятие в теории вероятностей, означающее среднее значение случайной величины. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения. Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.
Нормированное пространство — векторное пространство с заданной на нём нормой; один из основных объектов изучения функционального анализа.
Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена.
Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.
Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины .
Теоре́ма Нётер или первая теорема Нётер утверждает, что каждой дифференцируемой симметрии действия для физической системы с консервативными силами соответствует закон сохранения. Теорема была доказана математиком Эмми Нётер в 1915 году и опубликована в 1918 году. Действие для физической системы представляет собой интеграл по времени функции Лагранжа, из которого можно определить поведение системы согласно принципу наименьшего действия. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над физическим пространством.
Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.
Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой -й степенью.
Фу́нкция Э́йлера — мультипликативная арифметическая функция, значение которой равно количеству натуральных чисел, меньших либо равных и взаимно простых с ним.
Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости. В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю. В. Линник, И. В. Островский, К. Р. Рао, Б. Рамачандран.
Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств .
Закон больших чисел (ЗБЧ) в теории вероятностей — принцип, описывающий результат выполнения одного и того же эксперимента много раз. Согласно закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.
Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:
,
Кратный интеграл — определённый интеграл, взятый от переменных; например:
.
Арифметическая функция — функция, определённая на множестве натуральных чисел и принимающая значения из множества комплексных чисел .
В математике теория момента остановки или марковский момент времени связана с проблемой выбора времени, чтобы принять определённое действие, для того чтобы максимизировать ожидаемое вознаграждение или минимизировать ожидаемые затраты. Проблема момента остановки может быть найдена в области статистики, экономики и финансовой математики. Самым ярким примером, относящимся к моменту остановки, является Задача о разборчивой невесте. Проблема момента остановки часто может быть указана в форме уравнения Беллмана и поэтому часто решается с помощью динамического программирования.
Неравенство Гюйгенса - популярное наименование в русскоязычной литературе одного из частных случаев неравенства Йенсена.
В теории вероятностей неравенства концентрации меры дают оценки отклонения случайной величины от некоторого значения. Закон больших чисел классической теории вероятностей утверждает, что суммы независимых случайных величин, при соблюдении довольно слабых условий, с большой вероятностью оказываются близкими к их математическим ожиданиям. Такие суммы являются основными примерами случайных величин, которые сконцентрированы около своих средних значений.
Тригонометрическая сумма — это конечная сумма комплексных чисел, геометрически соответствующих векторам на единичной окружности, то есть вида
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.