Неравенство Кон-Фоссена

Неравенство Кон-Фоссена связывает интеграл от гауссовой кривизны некомпактной поверхности с её эйлеровой характеристикой. Это неравенство аналогично формуле Гаусса — Бонне.

Названо в честь Стефана Эммануиловича Кон-Фоссена.

Формулировка

Для любой поверхности $S$ с полной римановой метрикой и ограниченной интегральной кривизной выполняется неравенство^[1]

\iint \limits _{S}K\leq 2\cdot \pi \cdot \chi (S),

где $K$ обозначает гауссову кривизну и $\chi (S)$ — Эйлерову характеристику $S$ .

Примеры

Если $S$ — компактная поверхность без края, то неравенство переходит в равенство согласно формуле Гаусса — Бонне.
Если $S$ — плоскость, то неравенство становится строгим (его левая часть равна нулю, правая — $2\pi$ ).

Примечания

↑ Robert Osserman, A Survey of Minimal Surfaces, Courier Dover Publications, 2002, page 86.

Литература

Кон-Фоссен, С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. — Государственное Издательство Физико-Математической Литературы, 1959. — 303 с.

Похожие исследовательские статьи

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

L-функция Дирихле $\text{[math]}$ — комплексная функция, заданная при $\text{[math]}$ формулой

\text{[math]}

Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик, описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» от соответствующих «плоских» объектов.

Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если $\text{[math]}$ — группа, то характер — это гомоморфизм из $\text{[math]}$ в мультипликативную группу поля.

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

Космологическое (метагалактическое) красное смещение — наблюдаемое для всех далёких источников понижение частот излучения, объясняемое как динамическое удаление этих источников друг от друга и, в частности, от нашей Галактики, то есть как нестационарность (расширение) Метагалактики.

Рассе́яние части́ц — изменение направления движения частиц в результате столкновений с другими частицами.

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

Скалярная кривизна — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ .

Седловая поверхность — гладкая поверхность, все точки которой седловые, то есть имеют отрицательную гауссову кривизну.

Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.

Theorema Egregium — исторически важный результат в дифференциальной геометрии, доказанный Гауссом. В современной формулировке теорема утверждает следующее:

Гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности. Иными словами, гауссова кривизна может быть определена исключительно путём измерения углов, расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве.

Обобщенная формула Гаусса — Бонне — интегральная формула, выражающая эйлерову характеристику замкнутого чётномерного риманова многообразия через его кривизну. Это прямое обобщение формулы Гаусса — Бонне на высшие размерности.

Формулой Гаусса называются некоторые формулы, названные в честь немецкого математика Карла Гаусса:

Формула Гаусса — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну.
Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.
- Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы Гаусса — Бонне на высшие размерности.
Интерполяционная формула Гаусса для интерполяции функции, где в качестве узлов интерполяции используются ближайшие к точке интерполирования узлы.
Формула численного интегрирования Гаусса — метод численного интегрирования Гаусса.
- Квадратурная формула Гаусса — Лагерра — улучшение формулы численного интегрирования Гаусса.
Формула площади Гаусса для определения площади многоугольника.
Формула Гаусса — Остроградского выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность.
Алгоритм Гаусса вычисления даты Пасхи
Формулами Гаусса иногда называют формулы Деламбра в сферической тригонометрии.

Формула трубки или формула Вейля — выражение для объёма $\text{[math]}$ -окрестности подмногообразия как многочлен от $\text{[math]}$ . Предложена Германом Вейлем.

Теорема Римана — Роха для поверхностей описывает размерность линейных систем на алгебраической поверхности. В классическом виде теорему первым сформулировал Кастельнуово после предварительных версий Макса Нётера и Энриквеса. Версия в терминах пучков принадлежит Хирцебруху.

Теорема о повороте плоской кривой — дифференциально геометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника; частный случай формулы Гаусса — Бонне. Одно из доказательств принадлежит Хайнцу Хопфу, в честь которого эта теорема иногда называется.

Энергия Уиллмора является численной мерой, отражающей отклонение заданной поверхности от круглой сферы. Математически энергия Уиллмора гладкой замкнутой поверхности, вложенной в трёхмерное евклидово пространство, определяется как интеграл от квадрата средней кривизны минус гауссова кривизна. Термин назван именем английского геометра Томаса Уиллмора.

Теорема Бертрана — Диге — Пюизё выражает гауссову кривизну выражается либо в терминах длины геодезической окружности, либо в терминах площади геодезического диска. Теорема принадлежит Жозефу Бертрану, Виктору Пюизё и Шарлю Франсуа Диге.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.