Неравенство Фридрихса

Неравенство Фридрихса — теорема функционального анализа, доказанная Куртом Фридрихсом^[англ.]. Оно указывает границу для L^p-нормы функции, используя L^p границы на слабые производные этой функции и геометрию области. Неравенство может быть использовано, чтобы показать эквивалентность некоторых норм на пространстве Соболева.

Пусть Ω — ограниченное подмножество евклидова пространства Rⁿ с диаметром d. Предположим, что u : Ω → R принадлежит пространству Соболева ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )}$ (то есть ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ и tr u = 0). Тогда

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p},}$

где

• ${\displaystyle \|-\|_{L^{p}(\Omega )}}$ обозначает L^p-норму;
• α = (α₁, …, α_n) — мультииндекс с нормой |α| = α₁ + … + α_n;
• D^αu — смешанная частная производная

${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}$

Близким результатом является неравенство Пуанкаре^[англ.].