Неравенство Шура

В математике неравенство Шура, названное в честь математика Исая Шура, утверждает, что для произвольных неотрицательных действительных чисел ${\displaystyle x,y,z}$ и ${\displaystyle t}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-x)(y-z)+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0}$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=y=z}$ или два числа среди них равны между собой, а третье равно нулю. Если ${\displaystyle t}$ будет натуральным и чётным, то неравенство будет выполняться для всех действительных ${\displaystyle x,y,z}$.

Самым распространённым и известным применением неравенства является частный случай, когда ${\displaystyle t=1}$:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y}$

Поскольку неравенство симметрично относительно переменных ${\displaystyle x,y,z}$, то без ограничения общности можно считать, что ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$. Тогда неравенство Шура становится равносильным следующему неравенству:

${\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0}$

которое выполняется потому, что ${\displaystyle x^{t}(x-z)\geqslant x^{t}(y-z)\geqslant y^{t}(y-z)}$. Также из этого рассуждения видно, что равенство возможно только при ${\displaystyle x=y=z}$ или ${\displaystyle x=y}$ и ${\displaystyle z=0}$. Учитывая симметричные данному варианты можно получить, что в исходном неравенстве равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=y=z}$ или двое из чисел ${\displaystyle x,y,z}$ равны между собой, а третье равно нулю, что и требовалось доказать.

Обобщением неравенства Шура является следующее неравенство: для всех действительных ${\displaystyle x,y,z}$ и неотрицательных действительных ${\displaystyle a,b,c}$:

${\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\geqslant 0}$

если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$ и ${\displaystyle a\geqslant b}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$ и ${\displaystyle c\geqslant b}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}$ и ${\displaystyle a+c\geqslant b}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}$ и ${\displaystyle ax\geqslant by}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}$ и ${\displaystyle cz\geqslant by}$
• ${\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}$ и ${\displaystyle ax+cz\geqslant by}$
• ${\displaystyle a,b,c}$ - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• ${\displaystyle a,b,c}$ - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• ${\displaystyle ax,by,cz}$ - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• ${\displaystyle ax,by,cz}$ - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• Существует выпуклая или монотонная функция ${\displaystyle f:\mathbb {I} \longrightarrow \mathbb {R^{+}} }$ , где ${\displaystyle \mathbb {I} }$- это интервал, который содержит числа ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, причём ${\displaystyle a=f(x)}$, ${\displaystyle b=f(y)}$, ${\displaystyle c=f(z)}$

Другое возможное обобщение утверждает, что если неотрицательные действительные числа ${\displaystyle x\geq y\geq z\geq v}$ и положительное действительное число ${\displaystyle t}$ таковы, что ${\displaystyle x+v\geq y+z}$, то^[1]:

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)(x-v)+y^{t}(y-x)(y-z)(y-v)+z^{t}(z-x)(z-y)(z-v)+v^{t}(v-x)(v-y)(v-z)\geq 0.}$