Неравенство Эрдёша — Морделла

Неравенство Эрдёша — Морделла (неравенство Эрдёша — Морделла — Барроу) — планиметрическое утверждение, устанавливает связь между расстояниями от точки внутри треугольника до его сторон с расстояниями от той же точки до вершин треугольника.

Неравенство

Пусть точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$ . Обозначим расстояния от точки $M$ до сторон $BC,CA,AB$ треугольника через $d_{a},d_{b},d_{c}$ , а расстояния от точки $M$ до вершин $A,B,C$ через $R_{a},R_{b},R_{c}$ . Тогда

R_{a}+R_{b}+R_{c}\geqslant 2(d_{a}+d_{b}+d_{c}).

История

Эрдёш выдвинул это утверждение в качестве гипотезы в 1935 году (Erdős 1935). Через два года доказательство дал Морделл (Mordell & Barrow 1937). Однако его доказательство было весьма сложным. Более простые доказательства даны в (Kazarinoff 1957), (Bankoff 1958) и (Alsina & Nelsen 2007).

Ссылки

А. Егоров. Треугольники и неравенства // Квант. — 2005. — № 2. — С. 32—33.
Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "A visual proof of the Erdős-Mordell inequality", Forum Geometricorum, 7: 99—102 Архивная копия от 16 июля 2020 на Wayback Machine
Bankoff, Leon (1958), "An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem", American Mathematical Monthly, 65 (7): 521, JSTOR 2308580
Erdős, Paul (1935), "Problem 3740", American Mathematical Monthly, 42: 396
Kazarinoff, D. K. (1957), "A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles", Michigan Mathematical Journal, 4 (2): 97—98, doi:10.1307/mmj/1028988998
Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), "Solution to 3740", American Mathematical Monthly, 44: 252—254

Похожие исследовательские статьи

Серединный треугольник — треугольник, построенный на серединах сторон данного треугольника, частный случай серединного многоугольника.

Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода $\text{[math]}$ , выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля $\text{[math]}$ рациональных чисел на произвольное числовое поле. Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.

Пал Э́рдёш — венгерский математик, один из наиболее продуктивных математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей. Лауреат множества математических наград, включая премию Вольфа (1983/1984). Основатель премии Эрдёша.

Неравенство Пидо — неравенство в геометрии, названное в честь Даниеля Пидо (1910—1998) и Жозефа Нойберга (1840—1926). Неравенство утверждает, что если $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ — длины сторон треугольников $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , a $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — их площади, тогда

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Равногранный тетраэдр</span>

Равногранный тетраэдр — определённый тип тетраэдра в евклидовом пространстве.

Изопериметри́ческое нера́венство — геометрическое неравенство, связывающее периметр замкнутой кривой на плоскости и площадь участка плоскости, ограниченной этой кривой. Этот термин также используется для различных обобщений данного неравенства.

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это такая окружность, по отношению к которой каждая сторона описанного многоугольника является касательной. Двойственный многоугольник описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины.

<span class="mw-page-title-main">Теорема Эрдёша — Секереша</span>

Теорема Э́рдёша — Се́кереша в комбинаторике — утверждение, уточняющее одно из следствий теоремы Рамсея для финитного случая. В то время как теорема Рамсея облегчает доказательство того, что каждая последовательность разных действительных чисел содержит монотонно возрастающую бесконечную подпоследовательность или монотонно убывающую бесконечную подпоследовательность, результат, доказанный Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, идёт дальше. Для данных $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ они показали, что любая последовательность разных чисел длины не менее $\text{[math]}$ содержит монотонно возрастающую подпоследовательность длины $\text{[math]}$ или монотонно убывающую длины $\text{[math]}$ . Доказательство появилось в той же самой работе 1935 года, что и задача со счастливым концом.

В данном списке приводятся математические утверждения и объекты, названные именем венгерского математика Пала Эрдёша.

<span class="mw-page-title-main">Задача со счастливым концом</span>

Задача со счастливым концом — утверждение о том, что любое множество из пяти точек на плоскости в общем положении имеет подмножество из четырёх точек, которые являются вершинами выпуклого четырёхугольника.

Теорема Эрдёша — Эннинга — утверждение о том, что бесконечное множество точек на плоскости может иметь целые расстояния между точками множества только в том случае, когда все точки лежат на одной прямой. Названа по именам Пала Эрдёша и Норманна Эннинга, опубликовавших её доказательство в 1945 году.

Гипотеза Эрдёша о числе различных расстояний — утверждение комбинаторной геометрии, согласно которому между $\text{[math]}$ различными точками на плоскости имеется не меньше, чем $\text{[math]}$ различных расстояний. Гипотеза сформулирована Палом Эрдёшем в 1946 году, в 2010 году Ларри Гут и Нетс Катц объявили о возможном решении этой проблемы, окончательное доказательство Гута и Каца было завершено в 2015 году.

Гипотеза Эрдёша — Штрауса — теоретико-числовая гипотеза, согласно которой для всех целых чисел $\text{[math]}$ рациональное число $\text{[math]}$ может быть представлено в виде суммы трёх аликвотных дробей, то есть существует три положительных целых числа $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , таких что:

\text{[math]}

Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников.

Пифагорова мозаика — замощение евклидовой плоскости квадратами двух различных размеров, в которой каждый квадрат касается четырёх квадратов другого размера своими четырьмя сторонами. Исходя из этой мозаики, можно доказать (наглядно) теорему Пифагора, за что мозаика и получила название пифагоровой. Мозаика часто используется в качестве узора для кафельного пола. В этом контексте мозаика известна также как узор классов.

<span class="mw-page-title-main">Конциклические точки</span>

Конциклические точки — точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точек.

В планиметрии окружность Ламуна — это специальная окружность, которую можно построить в любом треугольнике $\text{[math]}$ . Она содержит центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник $\text{[math]}$ разрезают три его медианы. Пусть для определенности $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ — 3 вершины треугольника $\text{[math]}$ , и пусть $\text{[math]}$ — его центроид. Пусть $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — середины сторон $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ соответственно. Тогда центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , лежат на общей окружности, которая называется окружностью Ламуна.

Задача Данцера — Грюнбаума — проблема комбинаторной геометрии, ставящая вопрос о том, какое максимальное число точек можно разместить в многомерном пространстве, чтобы они не образовывали между собой прямых или тупых углов. Известно, что на плоскости можно расположить максимум три такие точки, в трёхмерном пространстве можно расположить пять таких точек. В 2017 году было доказано, что в пространстве размерности $\text{[math]}$ можно расположить Θ $\text{[math]}$ таких точек.

Вписанно-описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, который имеет как вписанную окружность, так и описанную окружность. Из определения следует, что вписанно-описанные четырёхугольники имеют все свойства как описанных четырёхугольников, так и вписанных четырёхугольников. Другие названия этих четырёхугольников: хордо-касающийся четырёхугольник и бицентрический четырёхугольник. Их также называют двух-окружностными четырёхугольниками.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.