Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел, совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.
Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.
В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений, применяемых в теории групп.
Мо́дуль над кольцо́м — обобщение понятия векторного пространства с полей на кольца. Одно из основных понятий общей алгебры.
Коммутант в общей алгебре — подсистема алгебр, содержащих групповую структуру, показывающая степень некоммутативности групповой операции.
Нильмногообразие — это гладкое многообразие, имеющее транзитивную нильпотентную группу диффеоморфизмов, действующих на этом многообразии. Нильмногообразие является примером однородного пространства и диффеоморфно факторпространству
, факторгруппе нильпотентной группы Ли N по замкнутой подгруппе H. Термин ввёл Анатолий И. Мальцев в 1951 году.
Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.
Нильрадикал коммутативного кольца — идеал, состоящий из всех его нильпотентных элементов.
Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.
Факториа́льное кольцо́ — область целостности, в которой каждый ненулевой элемент x либо обратим, либо однозначно представляется в виде произведения неприводимых элементов x = p1 ⋯ pn (n ≥ 1), с точностью до перестановки сомножителей и умножения на обратимый элемент (аналогично разложению целого числа на простые). Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.
В коммутативной алгебре идеал Q коммутативного кольца A называется примарным, если он не совпадает со всем кольцом, и для любого элемента Q вида xy либо x, либо yn для некоторого n>0 также является элементом Q. Например, в кольце целых чисел Z идеал примарен тогда и только тогда, когда он имеет вид (pn), где p — простое число.
Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна. Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.
В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.
Теорема Ласкера — Нётер утверждает, что каждый идеал нётерова кольца можно записать в виде конечного пересечения примарных идеалов. Такое представление идеала называется примарным разложением. В случае области главных идеалов это эквивалентно представлению в виде конечного пересечения степеней простых идеалов, то есть обобщает основную теорему арифметики. В 1905 теорема была доказана Эмануилом Ласкером в частном случае колец многочленов или сходящихся степенных рядов; общий случай теоремы доказала Эмми Нётер в 1921 году.
Теорема Голода-Шафаревича — теорема алгебры. Была сформулирована и доказана Е. С. Голодом и И. Р. Шафаревичем в 1964 г. Важными следствиями из неё являются отрицательный ответ на проблему Куроша, отрицательный ответ на общую проблему Бернсайда.
Гипотеза Кёте — проблема в теории колец, остающаяся открытой с 2022 года. Гипотеза может формулироваться различными способами. Пусть R — кольцо. Один из способов формулировки гипотезы — если R не имеет ниль-идеала, отличного от
, то оно не имеет одностороннего ниль-идеала, отличного от
.