Обозначения Ньютона

Обозначения Ньютона, введенные в математику Ньютоном, в основном касаются некоторых деталей алгебры и операции дифференцирования.

Алгебра

Современная запись показателя степени в виде надстрочного индекса (x^a) введена Декартом (1637) только для натуральных степеней, больших 2. Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели (1676), трактовку которых к этому времени уже предложили Стевин, Валлис и Жирар.

В 1717 году Ньютон предложил индексацию для нумерации однородных переменных в современном виде: ( $x_{n}$ ). Первое время, из-за типографских ограничений, индексы печатались не ниже строки, а на том же уровне.

Математический анализ

Производную по времени Ньютон обозначал точкой, расположенной над символом функции. Примеры:

{\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=x'(t)

{\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x''(t)

и так далее.

Такую точечную нотацию не очень удобно использовать для производных высших порядков (более второго). Однако в механике, инженерных науках, макроэкономике она используется, если производная берётся по времени (а не по пространственным координатам).

Ньютон, в отличие от Лейбница, не предложил символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её.

Ньютон также способствовал закреплению в науке символа бесконечно малого («o» малое), которое ранее предложил шотландский математик Джеймс Грегори.

См. также

История математических обозначений
Обозначения Лейбница

Литература

Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М., Наука. Том 2. Математика XVII столетия. (1970)
Кэджори Ф. История элементарной математики / Пер. И. Ю. Тимченко. — 2-е изд., испр. — Одесса: Mathesis, 1917.
Cajori F. A History of Mathematical Notations. — New York: Cosimo, Inc, 2007 (1929 reprint). — ISBN 978-1-60206-714-1.
- Volume 1 Volume 2

Похожие исследовательские статьи

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

При́нцип наиме́ньшего де́йствия Га́мильтона, также просто принцип Гамильтона — способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного значения специального функционала — действия. Назван в честь Уильяма Гамильтона, использовавшего этот принцип для построения так называемого гамильтонова формализма в классической механике.

<span class="mw-page-title-main">Дифференциальное уравнение</span> уравнение, в котором есть производные от неизвестной функции

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен. Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например, $\text{[math]}$ не является дифференциальным уравнением.

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

<span class="mw-page-title-main">Формула конечных приращений</span>

Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция $\text{[math]}$ непрерывна на отрезке $\text{[math]}$ и дифференцируема в интервале $\text{[math]}$ , то найдётся такая точка $\text{[math]}$ , что

\text{[math]}

Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.

Опера́тор — математическое отображение между множествами, в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной структурой. Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений ; точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию.

<span class="mw-page-title-main">Ряд (математика)</span> понятие в математическом анализе

Ряд в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

\text{[math]}

Краткая запись:

\text{[math]}

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

Лагранжева механика — формулировка классической механики, введённая Луи Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие — интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

Обыкновенное дифференциальное уравне́ние (ОДУ) — дифференциальное уравнение для функции от одной переменной Таким образом, ОДУ — уравнения вида

\text{[math]}

Интегра́л — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:

о нахождении площади под кривой;
пройденного пути при неравномерном движении;
массы неоднородного тела, и тому подобных;
а также в задаче о восстановлении функции по её производной.

Знак корня в математике — условное обозначение $\text{[math]}$ для операции извлечения корня. В общем случае показатель корня $\text{[math]}$ ставится над «птичкой», например: знак $\text{[math]}$ используется для кубических корней, $\text{[math]}$ — для корней 4-й степени и т. п.. Показатель 2 для квадратного корня разрешается не указывать, он подразумевается по умолчанию. Подкоренное выражение указывается после знака радикала и охватывается чертой сверху, например: $\text{[math]}$ .

Интегра́льный си́нус — специальная функция, определяемая интегралом:

<span class="mw-page-title-main">Спор о струне</span>

Спор о струне, спор о колеблющейся струне, спор о звучащей струне — научная дискуссия, развернувшаяся в XVIII веке между крупнейшими учёными того времени вокруг изучения колебаний струны. В спор оказались вовлечены Д’Аламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж. Дискуссия касалась определения понятия функции и оказала решающее влияние на множество разделов математики: теорию дифференциальных уравнений в частных производных, математический анализ и теорию функций вещественной переменной, теорию тригонометрических рядов Фурье и теорию обобщённых функций и пространств Соболева.

Формула Ньютона — Лейбница, или основная формула анализа, или формула Барроу даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

История математических обозначений — история разработки символов, используемых для компактной записи математических уравнений и формул. Помимо индо-арабских цифр и букв различных алфавитов, математический язык использует множество специальных символов, изобретённых за последние несколько столетий.

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве $\text{[math]}$ двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в $\text{[math]}$ некоторую кривую;
m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в $\text{[math]}$ , вообще говоря, m-мерную поверхность;
векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на $\text{[math]}$ .

Анализ бесконечно малых — историческое название математического анализа, раздела высшей математики, изучающего пределы, производные, интегралы и бесконечные ряды, и составляющего важную часть современного математического образования. Состоит из двух основных частей: дифференциального исчисления и интегрального исчисления, которые связаны между собой формулой Ньютона — Лейбница.

Нотация Лейбница — система математических обозначений, разработанная Лейбницем для анализа бесконечно малых и широко используемая в математическом анализе. Основные символы — $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ для представления бесконечно малого приращения $\text{[math]}$ и функции $\text{[math]}$ от переменной $\text{[math]}$ соответственно, а также $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ для конечных приращений $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ соответственно.

Нотация анализа — система математических обозначений, применяемая в математическом анализе, при этом различные математические школы применяют различные обозначения для производной функций или переменных. Использование той или иной нотации зависит от контекста, и одно обозначение может оказаться удобнее других в конкретном случае. Наиболее общеупотребительна нотация Лейбница, также широко используются нотации Лагранжа, Эйлера, Ньютона.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.