Обратимый элемент

Обратимый элемент — элемент кольца с единицей, для которого существует обратный элемент относительно умножения. Другое название — делитель единицы. Также, в основном в переводах с английского, встречается название единица, что может вызывать путаницу с единичным элементом (в английских источниках используются два разных термина: unit element и Identity element^[1]).

Иначе говоря, элемент кольца ${\displaystyle a}$ называется обратимым, если существует элемент ${\displaystyle b}$, такой что

${\displaystyle ab=ba=e,}$

где ${\displaystyle e}$ — единичный элемент кольца.

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой обратимых элементов (реже группой единиц). Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Элементы ${\displaystyle r,s\in R}$ называют ассоциированными и пишут ${\displaystyle r\sim s}$, если ${\displaystyle r|s}$ и ${\displaystyle s|r}$. В случае, когда ${\displaystyle R}$ является областью целостности, определение обычно заменяется на равносильное через существование такого обратимого элемента ${\displaystyle u}$, что ${\displaystyle r=us}$.

Обратимые элементы кольца ${\displaystyle R}$ образуют группу ${\displaystyle U(R)}$ по умножению, группу единиц кольца ${\displaystyle R}$. Другие общепринятые обозначение — ${\displaystyle R^{\times }}$, ${\displaystyle R^{*}}$ и ${\displaystyle E(R)}$ (от немецкого Einheit).

В коммутативном кольце ${\displaystyle R}$ группа обратимых элементов кольца ${\displaystyle U(R)}$ действует стандартным образом на ${\displaystyle R}$ посредством умножения. Орбиты этих действий называются множествами ассоциированных элементов.

Можно показать, что ${\displaystyle U}$ — это функтор из категории колец в категорию групп: каждый гомоморфизм колец ${\displaystyle f:R\rightarrow S}$ порождает гомоморфизм групп ${\displaystyle U(f):U(R)\rightarrow U(S)}$, поскольку ${\displaystyle f}$ отображает единицы в единицы.

Кольцо ${\displaystyle R}$ является телом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U(R)=R\backslash \{0\}}$.

• В кольце целых чисел два делителя единицы: ${\displaystyle \pm 1}$.
• В кольце вычетов по модулю m обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m. Они образуют мультипликативную группу кольца вычетов.
• В кольце гауссовых целых чисел четыре делителя единицы: ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$.
• В кольце многочленов над полем любой ненулевой элемент поля коэффициентов (как многочлен нулевой степени) является делителем единицы.

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.