Ограниченные неполные частные

Говорят, что вещественное число имеет ограниченные неполные частные если при его разложении в цепную дробь неполные частные не принимают сколь угодно больших значений То есть цепная дробь

x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+\dots }}}}

имеет ограниченные неполные частные если существует число $c$ такое, что $a_{i}\leq c$ для любого $i\geq 0$ .

Свойства

любая периодическая цепная дробь имеет ограниченные неполные частные;

если $x$ имеет ограниченные неполные частные, то в двоичном представлении значения функции Минковского в точке $x$ расстояние между соседними единицами ограничено (в этом контексте множество таких чисел можно понимать как широкое обобщение идеи построения множества Кантора).

Гипотеза Зарембы

Разложение рационального числа в цепную дробь всегда конечно, так что все его неполные частные ограничены максимальным из них. Поэтому особый интерес представляет вопрос, можно ли наложить единые ограничения на неполные частные большинства рациональных чисел. Его поставил Станислав Заремба в 1972 году.

Гипотеза Зарембы

Существует абсолютная константа $c$ такая, что для всякого знаменателя $q\in {\mathbb {N} }$ существует числитель $a<q$ такой, что $(a,q)=1$ и неполные части несократимой дроби

{\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]

ограничены неравенством $a_{i}\leq c,\ i=1,\dots ,s$

Бургейн и Конторович доказали гипотезу для множества чисел $q$ плотности 1.^[1] Для малых значений константы $c$ и отдельных множеств допустимых значений $a_{i}$ изучаются менее сильные нижние оценки на распределения таких $q$ .^[2]

Литература

J. Bourgain, A. Kontorovich. On Zaremba’s conjecture (англ.) // Annals of Mathematics. — 2014. — Vol. 180. — P. 137–196.

И. Д. Кан. Усиление теоремы Бургейна–Конторовича. IV (рус.) // Известия РАН. — 2016. — Т. 80, вып. 6. — С. 103–126.

Примечания

↑ Bourgain, Kontorovich, 2014.
↑ См. Кан, 2016 и другие работы из той же серии.

Похожие исследовательские статьи

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция $\text{[math]}$ комплексного переменного $\text{[math]}$ , при $\text{[math]}$ , определяемая с помощью ряда Дирихле:

\text{[math]}

Це́лые чи́сла — расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью в общем случае вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего. Введение нуля и отрицательных чисел делает вычитание такой же полноценной операцией, как сложение.

<span class="mw-page-title-main">Вычитание</span>

Вычита́ние (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций двух аргументов, результатом которой является новое число (разность), получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»: $\text{[math]}$ . Вычитание — операция обратная сложению.

<span class="mw-page-title-main">Рациональное число</span> число, которое можно представить обыкновенной дробью , где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число

Рациона́льное число́ — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — целое число, а $\text{[math]}$ — натуральное. Пример: $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ , а $\text{[math]}$ .

Иррациона́льное число́ — вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — целые числа, $\text{[math]}$ . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Непрерывная дробь — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

\text{[math]}

Алгори́тм Евкли́да — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида, который впервые описал его в VII и X книгах «Начал». Это один из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время.

<span class="mw-page-title-main">Рациональная функция</span> числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями. Результат умножения называется их произведением.

Точная верхняя граница и точная нижняя граница — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

<span class="mw-page-title-main">Деление (математика)</span> действие, обратное умножению

Деле́ние — действие, обратное умножению. Деление обозначается двоеточием $\text{[math]}$ , обелюсом $\text{[math]}$ , косой чертой $\text{[math]}$ или записывается в виде дроби.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: $\text{[math]}$

Последовательность в математике — пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Обычно под последовательностью понимается бесконечная последовательность, при этом конечные последовательности в некоторых случаях также рассматриваются.

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

В теории чисел факторизация методом непрерывных дробей (CFRAC) — это алгоритм разложения целых чисел на простые множители. Это алгоритм общего вида, пригодный для факторизации произвольного целого $\text{[math]}$ .

Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: $\text{[math]}$ , то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа $\text{[math]}$ , равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения $\text{[math]}$ с рациональными коэффициентами $\text{[math]}$ . В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

Гипотеза Зарембы — утверждение теории чисел о представлениях несократимых дробей через непрерывные дроби: существует абсолютная константа $\text{[math]}$ со следующим свойством: для любого $\text{[math]}$ существует $\text{[math]}$ такое, что $\text{[math]}$ и для разложения:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.