Однородно ускоренная система отсчёта

Однородно ускоренная система отсчета – система отсчета, в которой каждая точка движется с одинаковым постоянным ускорением в собственной системе отсчета, т.е. в системе, где эта точка неподвижна.

Если в ньютоновской механике описание однородно ускоренной системы не представляет трудностей, то релятивистское такой системы отсчета требует отказа от стереотипов бытового предоставления о движении. Кроме того, дополнительная трудность – специальная теория относительности может описать движение только в инерциальных системах отсчета. Поэтому ускорение (неподвижной) точки в собственной системе отсчета описывается с помощью символов Кристоффеля^[1]$${\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i},}$$Следовательно, в однородно ускоренной системе или в однородном гравитационном поле все ${\textstyle \Gamma _{00}^{i}=const}$.

Первая успешная попытка была сделана в 1907, в знаменитой работе А. Эйнштейна^[2]. Здесь Эйнштейн предложил принцип эквивалентности, который стал мощным инструментом релятивистской теории гравитации – общей тории относительности. Здесь же получен первый результат будущей теории – доказано, что в ускоренной системе темп хода часов зависит не только от скорости, но и от потенциала поля ${\textstyle \phi }$ (инерции или гравитации). Для нулевой скорости:$${\displaystyle d\tau =dt{\Bigl (}1+{gx \over c^{2}}{\Bigr )}=dt{\Bigl (}1+{\phi \over c^{2}}{\Bigr )}}$$Причем, результат верен только в пределе малых потенциалов. В той же статье Эйнштейна^[2] для однородной системы отсчета получена точное выражение. «Из того, что выбор начала координат не должен влиять на это соотношение, можно заключить, что оно должно быть заменено точным соотношением»^[2]:

$${\displaystyle d\tau =dte^{gx/c^{2}}.}$$Эйнштейн, дав исчерпывающие ответы на вопрос о том как меняется время в ускоренной системе, поставил вопрос как меняется форма тела в ускоренных системах. Ответ тогда не был дан. Исчерпывающий ответ был получен в 1963 г. Гарри Лассом (Harry Lass)^[3].

Ласс решил одномерную задачу однородно ускоренной системы, используя принцип постоянства скорости света.

Ласс рассмотрел систему отсчета ${\displaystyle O'XYZ}$, ускоряющуюся вдоль оси ${\displaystyle x}$ относительно инерциальной системы координат ${\displaystyle Oxyz}$. Далее, постулировав, что ${\displaystyle dX/dT=\pm c}$, и ${\displaystyle dx/dt=\pm c}$ (координатная скорость света инвариант), получил преобразование$${\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right]}$$и$${\displaystyle t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.}$$Важно, что метрика системы Ласса $${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=e^{2gX/c^{2}}[c^{2}dT^{2}-dX^{2}]-dY^{2}-dZ^{2}=g_{\alpha \beta }(X)dX^{\alpha }dX^{\beta }}$$удовлетворяет вакуумному уравнению Эйнштейна, т.е. ${\textstyle R_{ik}=0}$.

Система отсчета Ласса напоминает систему Меллера (C. Møller)^[4] (1943), которая известна так же под названием системы Риндлера (W. Rindler)^[5]. В тех же координатах система Меллера$${\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left[\left(1+{\frac {gX}{c^{2}}}\right)\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right]}$$и$${\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left(1+{\frac {gX}{c^{2}}}\right)\sinh {\frac {gT}{c}}.}$$

В то время как система Ласса однородна и для нее верно ${\textstyle \Gamma _{00}^{i}=g/c^{2}}$для системы Меллера это равенство выполняется лишь приближенно.