Оператор эволюции (генератор эволюции во времени)— оператор в квантовой механике, заданный на гильбертовом пространстве, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой.
Связь оператора эволюции с оператором Гамильтона
Оператор эволюции связан с оператором Гамильтона следующими формулами:

|

|
где
— операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени.
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

|
Свойства оператора эволюции
1.
[1] — унитарный оператор.
2.
.
3.
[2], где
— единичный оператор.
Вывод соотношения между оператором эволюции и гамильтонианом
Согласно постулатам квантовой механики чистое состояние системы описывается вектором из гильбертова пространства
. Введём оператор
, который действует по правилу:
.
Введённый оператор должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени. В представлении Шрёдингера вектор состояния удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

где
— оператор Гамильтона.
Если гамильтониан не зависит от времени, то
— является решением уравнения Шрёдингера. Отсюда следует, что оператор эволюции имеет вид:
.
Теперь пусть оператор Гамильтона зависит от времени и пусть
. Тогда разобьём рассматриваемый промежуток времени на интервалы
и будем считать, что в каждом из этих интервалов оператор Гамильтона постоянен
, при
. Тогда в любой момент времени, согласно предыдущим рассуждениям, вектор состояния имеет вид:
.
Теперь введём оператор упорядочивания по времени
, который действует по следующему правилу:

при
, для любой перестановки
.
С учётом этого волновую функцию можно написать в виде:
.
Для коммутирующих операторов
справедливо, что
. Так как операторы под знаком T-упорядочивания коммутируют, то последнее переписывается в виде:
.
При
получаем, что
.
Поэтому
.
Теперь рассмотрим оператор
при
. Это то же самое, если рассмотреть
при
. Воспользуемся тем, что
,
где
— единичный оператор.
Тогда:

и непосредственной проверкой убеждаемся, что
,
где
— оператор анти-упорядочивания по времени.
Примечания
- ↑ Оператор эволюции должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени
. - ↑ Свойство 3 является следствием свойства 2.
См. также
Литература