Оснащённое многообразие

Оснащённое многообразие ― гладкое подмногообразие с фиксированной тривиализацией нормального расслоения.

Оснащённые многообразия введены Львом Семёновичем Понтрягиным в 1937 году.

Определение

Пусть гладкое $n$ -мерное многообразие $M$ вложено в $\mathbb {R} ^{n+k}$ и пусть ( $k$ -мерное) нормальное расслоение $\nu$ , отвечающее этому вложению, тривиально. Оснащением многообразия $M$ , отвечающим этому вложению, называется любая тривиализация расслоения $\nu$ ; при этом одному и тому же вложению могут отвечать разные оснащения.

Свойства

Группы бордизмов оснащённых многообразий размерности $n$ $n$ , лежащих в $\mathbb {R} ^{n+k}$ $\mathbb {R} ^{n+k}$ , изоморфны гомотопическим группам $\pi _{n+k}(S^{n})$ $\pi _{n+k}(S^{n})$ .
- На этом пути были вычислены группы $\pi _{n+1}(S^{n})$ и $\pi _{n+2}(S^{n})$ .

Литература

Понтрягин, Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — М., 1976.

Похожие исследовательские статьи

Пространство Кала́би — Яу — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. В теории суперструн иногда предполагают, что дополнительные измерения пространства-времени принимают форму 6-мерного многообразия Калаби — Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Название было придумано в 1985 году, в честь Эудженио Калаби, который впервые предположил, что такие размерности могут существовать, и Яу Шинтуна, который в 1978 году доказал гипотезу Калаби.

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Хирургия, или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Теория узлов — изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу $\text{[math]}$ . В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вложения многообразий в целом.

Антидеси́ттеровское простра́нство — псевдориманово многообразие постоянной отрицательной кривизны. Его можно считать псевдоримановым аналогом $\text{[math]}$ -мерного гиперболического пространства. Названо как противопоставление пространству де Ситтера, обозначается обычно $\text{[math]}$ .

Многообра́зие — локально евклидово пространство.

Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.

Касательное расслоение гладкого многообразия $\text{[math]}$ — векторное расслоение над $\text{[math]}$ , слой которого в точке $\text{[math]}$ является касательным пространством $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ . Касательное расслоение обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению $\text{[math]}$ . Обычно обозначается через $\text{[math]}$ . Принимает значения в $\text{[math]}$ , кольце когомологий с коэффициентами в $\text{[math]}$ .

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства $\text{[math]}$ размерности $\text{[math]}$ называется многообразие, состоящее из его $\text{[math]}$ -мерных подпространств. Обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . В частности, $\text{[math]}$ — это многообразие прямых в пространстве $\text{[math]}$ , совпадающее с проективным пространством $\text{[math]}$ . Названо в честь Германа Грассмана.

Слоение — геометрическая конструкция в топологии: говорят, что на многообразии задано слоение размерности $\text{[math]}$ , если многообразие «нарезано» на «слои» размерности $\text{[math]}$ .

Экзотическая сфера — гладкое многообразие М, которое гомеоморфно, но не диффеоморфно стандартной n-сфере.

Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство, точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов $\text{[math]}$ , факторизованному по некоторому отношению эквивалентности $\text{[math]}$ . Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов, может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.

Классы Чженя — это характеристические классы, ассоциированные с комплексными векторными расслоениями.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

\text{[math]}

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности $\text{[math]}$ .

K3-поверхность — связная односвязная компактная комплексная поверхность, допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Характеристические классы — это далеко идущее обобщение таких количественных понятий элементарной геометрии, как степень плоской алгебраической кривой или сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности. Более подробно они описаны в соответствующей статье. Теория Черна — Вейля позволяет представлять некоторые характеристические классы как выражения от кривизны.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.