Основная теорема о вычетах

Основна́я теоре́ма о вы́четах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Формулировка: если функция ${\displaystyle f}$ аналитична в некоторой замкнутой односвязной области ${\displaystyle {\overline {G}}\subset \mathbb {C} }$, за исключением конечного числа особых точек ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру ${\displaystyle \partial G}$, то справедлива следующая формула:

${\displaystyle ~\int \limits _{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f(z),}$

где ${\displaystyle \mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f}$ — вычет функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a_{k}}$.

Обход контура ${\displaystyle \partial G}$ производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно аналитически продолжить интегрируемую вещественную функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Интеграл

${\displaystyle ~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}$

возникает в теории вероятностей при расчёте характеристической функции распределения Коши и не поддаётся вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру ${\displaystyle C}$, указанному на рисунке (${\displaystyle a>1}$). Интеграл равен

${\displaystyle ~\int \limits _{C}{f(z)}\,dz=\int \limits _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}$

Так как ${\displaystyle e^{itz}}$ — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где ${\displaystyle z^{2}+1=0}$. Так как ${\displaystyle z^{2}+1=(z+i)(z-i)}$, это возможно лишь при ${\displaystyle z=i}$ или ${\displaystyle z=-i}$. В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

${\displaystyle {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}}$	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)}$
	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},}$

Вычет ${\displaystyle f(z)}$ в ${\displaystyle z=i}$ равен

${\displaystyle \mathop {\mathrm {res} } _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}$

Тогда, по основной теореме о вычетах:

${\displaystyle ~\int \limits _{C}f(z)\,dz=2\pi i\,\mathop {\mathrm {res} } _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}$

Контур ${\displaystyle C}$ можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

${\displaystyle ~\int \limits _{\mbox{straight}}+\int \limits _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.}$

Поэтому

${\displaystyle ~\int \limits _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int \limits _{\mbox{arc}}.}$

Можно показать, что при ${\displaystyle t>0}$:

${\displaystyle ~\int \limits _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0;\quad a\rightarrow \infty .}$

Поэтому, если ${\displaystyle t>0}$, то

${\displaystyle ~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}$

Аналогичным образом, для дуги, охватывающей точку ${\displaystyle -i}$ вместо ${\displaystyle i}$, можно показать, что при ${\displaystyle t<0}$:

${\displaystyle ~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}$

В итоге получаем:

${\displaystyle ~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$

(При ${\displaystyle t=0}$ интеграл вычисляется обычными методами анализа, он равен ${\displaystyle \pi }$)

• Теорема Мореры

• Residue theorem Архивная копия от 12 июля 2008 на Wayback Machine in MathWorld
• Residue Theorem Module by John H. Mathews