Остаток ряда

Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n-м остатком ряда.

Обозначение:

r_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}

Все члены, кроме тех, что входят в n-й остаток ряда, в сумме дают т. н. n-ю частичную сумму ряда.

Свойства

Для остатка ряда справедливы следующие утверждения:

Если ряд сходится, то сходится любой его остаток.
Если хотя бы один остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится.
Если ряд сходится, то

\lim _{n\to \infty }\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}=0

Существуют способы оценки остатка ряда с помощью интегрального признака Коши (для знакоположительного ряда) и Признака сходимости Лейбница (для знакочередующегося ряда).

Последовательности и ряды
Последовательности	Числовая последовательность Фундаментальная последовательность Линейная рекуррентная последовательность Числа Фибоначчи Фигурные числа Факториал (Праймориал * Символ Похгаммера * Субфакториал) Последовательность Баркера Последовательность де Брёйна
Ряды, основное	Сумма ряда Остаток ряда Условная сходимость Знакочередующийся ряд Мультисекция ряда
Числовые ряды (действия с числовыми рядами)	Гармонический ряд Ряд Лейбница Ряд обратных квадратов Ряд обратных простых чисел Ряд Дирихле Ряд Меркатора Ряд Гранди 1 − 2 + 3 − 4 + … 1 + 2 + 3 + 4 + …
Функциональные ряды	Ряд Тейлора Ряд Лорана Ряд Фурье Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрический ряд Ряд Винера
Другие виды рядов	Ряд Неймана Ряд Пюизё

Похожие исследовательские статьи

При́знак д’Аламбе́ра — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Круг сходимости степенного ряда $\text{[math]}$ — это круг вида

\text{[math]}

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Ряд (математика)</span> понятие в математическом анализе

Ряд в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

\text{[math]}

Краткая запись:

\text{[math]}

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $\text{[math]}$ , последний часто может быть найден в явном виде.

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

\text{[math]}

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Сходящийся ряд $\text{[math]}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\text{[math]}$ , иначе — сходящимся условно.

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.

Ряд $\text{[math]}$ называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если $\text{[math]}$ существует, но $\text{[math]}$ .

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

\text{[math]}

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $\text{[math]}$ .

Признак Дедекинда — признак сходимости числовых рядов вида $\text{[math]}$ . Установлен Юлиусом Дедекиндом.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда.

При́знаки сходи́мости числового ряда — методы, позволяющие установить сходимость или расходимость бесконечного ряда $\text{[math]}$

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.