Оценки Шаудера

Оценки Шаудера — оценки на норму Гёльдера решений линейных равномерно эллиптических уравнений в частных производных.

Получены Юлиушем Шаудером. Эти оценки используются в доказательстве методом непрерывности^[англ.] существования и регулярности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в частных производных.

Пусть ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ Суп-норма непрерывной функции ${\displaystyle f\in C(\Omega )}$ определяется как

${\displaystyle |f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|}$

Для функции, непрерывной по Гёльдеру с показателем ${\displaystyle \alpha }$, то есть ${\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )}$ обычная полунорма Гёльдера определяется как

${\displaystyle [f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Сумма двух является полной нормой Гёльдера функции ${\displaystyle f}$

${\displaystyle |f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Для дифференцируемых функций u необходимо учитывать нормы высших порядков, включая производные. Норма в пространстве функций с k непрерывными производными, ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ определяется как

${\displaystyle |u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|,}$

где ${\displaystyle \beta =(i_{1},\dots ,i_{n})}$ обозначает мультииндекс, а ${\displaystyle |\beta |=i_{1}+\dots +i_{n}}$.

Для функций с производными k-го порядка, непрерывных по Гёльдеру с показателем ${\displaystyle \alpha }$, соответствующая полунорма определяется как

${\displaystyle [u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}$

что дает полную норму

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Для внутренних оценок нормы берутся с весами по расстоянию до границы.

${\displaystyle d_{x}=d(x,\partial \Omega )}$

в той же степени, что и производная, а полунормы берутся с весом

${\displaystyle d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})}$

возведённым в соответствующую степень. Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Ещё требуется норма с добавочной степенью при весах:

${\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.}$

Рассмотрим ограниченное решение ${\displaystyle u\in C^{2,\alpha }(\Omega )}$ в области ${\displaystyle \Omega }$ к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка

${\displaystyle \sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}$

где исходный член удовлетворяет ${\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )}$. Предположим, что уравнение строго эллиптично, то есть существует постоянная ${\displaystyle \lambda >0}$ такая что

${\displaystyle \sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}}$ для всех ${\displaystyle x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n},}$

а все соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle |a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .}$

Тогда взвешенную ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$-норму u можно оценить через суп-норму u и норму Гёльдера f:

${\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).}$

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ есть ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$-гладкая область (то есть около любой точки на границе области граничная поверхность может быть реализована после соответствующего поворота координат как график ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$ функции), с граничными данными Дирихле, совпадающими с функцией ${\displaystyle \phi (x)}$ что также по крайней мере ${\displaystyle C^{2,\alpha }}$. Затем с учетом тех же условий на коэффициенты, что и в случае внутренней оценки, невзвешенная норма Гёльдера для u управляется невзвешенными нормами исходного члена, граничных данных и супремум-нормы u:

${\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).}$

При этом, если решение u удовлетворяет принципу максимума, то первый член в правой части можно опустить.

• Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (in German), Berlin, Germany: Springer-Verlag, 38 (1), pp. 257–282, doi:10.1007/BF01170635 MR1545448
• Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF), Studia Mathematica (in German), Lwów, Poland: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, 5, pp. 34–42
• Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics, 2 (1st English ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4
• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Elliptic Partial Differential Equations, New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, ISBN 0-9658703-0-8, OCLC 38168365 MR1669352