Пара Вифериха

Пара Вифериха — пара простых чисел $p$ и $q$ , для которых выполнено:

p^{q-1}\equiv 1{\pmod {q^{2}}}

q^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}

Наименование дано в честь германского математика Артура Вифериха (нем. Arthur Wieferich). Играют важную роль в доказательстве Преды Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu)^[1] гипотезы Каталана^[2] (2002).

Известно только семь пар Вифериха^[3]^[4]:

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917), и (2903, 18787)

Простое число Вифериха $p\equiv 1{\pmod {4}}$ образует пару Вифериха $(p,2)$ .

Примечания

↑ Preda Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture (англ.) // Crelle's Journal : journal. — 2004. — Vol. 572. — P. 167—195.
↑ Jeanine Daems A Cyclotomic Proof of Catalan’s Conjecture Архивировано 21 февраля 2006 года..
↑ Weisstein, Eric W. Double Wieferich Prime Pair (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ A124121, A124122 и A126432 в OEIS

Литература

Yuri Bilu. Catalan's conjecture (after Mihăilescu) (неопр.) // Astérisque. — 2004. — Т. 294. — С. vii, 1—26.
R. Ernvall; T. Metsänkylä. On the p-divisibility of Fermat quotients (неопр.) // Math. Comp.^[англ.]. — 1997. — Т. 66, № 219. — С. 1353—1365. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00843-0.
Ray Steiner. Class number bounds and Catalan's equation (англ.) // Math. Comp.^[англ.] : journal. — 1998. — Vol. 67, no. 213. — P. 1317—1322. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00966-1.

Похожие исследовательские статьи

Число Скьюза — наименьшее натуральное число $\text{[math]}$ , такое, что, начиная с него, неравенство $\text{[math]}$ перестает выполняться, где $\text{[math]}$ — функция распределения простых чисел, $\text{[math]}$ — сдвинутый интегральный логарифм.

Тест Миллера — Рабина — вероятностный полиномиальный тест простоты. Тест Миллера — Рабина, наряду с тестом Ферма и тестом Соловея — Штрассена, позволяет эффективно определить, является ли данное число составным. Однако, с его помощью нельзя строго доказать простоту числа. Тем не менее тест Миллера — Рабина часто используется в криптографии для получения больших случайных простых чисел.

Те́ст Люка́ — Ле́мера — полиномиальный, детерминированный и безусловный тест простоты для чисел Мерсенна. Сформулирован Эдуардом Люка в 1878 году и доказан Лемером в 1930 году.

Псевдопростое число — натуральное число, обладающее некоторыми свойствами простых чисел, являясь тем не менее составным. В зависимости от рассматриваемых свойств существует несколько различных типов псевдопростых чисел.

Дискре́тное логарифми́рование (DLOG) — задача обращения функции $\text{[math]}$ в некоторой конечной мультипликативной группе $\text{[math]}$ .

Алгоритм COS — субэкспоненциальный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Был предложен в 1986 году.

Вероятно простое число — это число, которое проходит тест простоты. Сильное вероятно простое число — это число, которое проходит сильную версию теста простоты. Сильное псевдопростое число — это составное число, которое проходит сильную версию теста простоты.

Гипо́теза Катала́на — теоретико-числовое утверждение, согласно которому уравнение:

\text{[math]}

Простое число Вильсона — это простое число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ , где «!» означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ .

В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.

Простое число Фибоначчи — Вифериха — одно из предположительно существующих простых чисел определённого вида, связанных с числами Фибоначчи. По состоянию на 2023 год ни одного такого числа не найдено.

В теории чисел простым числом Вифериха называется простое число $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ , что является усилением утверждения малой теоремы Ферма, утверждающей, что любое нечетное простое $\text{[math]}$ делит $\text{[math]}$ . Эти простые числа впервые описаны Артуром Виферихом в 1909-м году в работе, относящейся к великой теореме Ферма. К тому времени обе теоремы Ферма были хорошо известны математикам.

В теории чисел частным Ферма для целого a ≥ 2 по простой базе p называется дробь

\text{[math]}

В теории чисел классы псевдопростых чисел Люка и псевдопростых чисел Фибоначчи состоят из чисел Люка, прошедших некоторые тесты, которым удовлетворяют все простые числа.

Тау-число — целое число $\text{[math]}$ , делящееся на число своих делителей, или, выражаясь алгебраически, такое $\text{[math]}$ , что $\text{[math]}$ . Первые несколько тау-чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96.

Число Оре — натуральное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Понятие числа Оре введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18 600, 18 620, ….

Тест Люка — Лемера — Ризеля (LLR) — тест простоты для чисел вида $\text{[math]}$ с $\text{[math]}$ (подмножество $\text{[math]}$ таких чисел называется числами Сабита). Разработан Хансом Ризелем и базируется на тесте Люка — Лемера, является самым быстрым детерминированным алгоритмом для чисел такого вида.

Псевдопросты́е чи́сла Ферма́ — составные числа, проходящие тест Ферма. Названы в честь французского математика Пьера Ферма. В теории чисел псевдопростые числа Ферма составляют важнейший класс псевдопростых чисел.

Функция Кармайкла — теоретико-числовая функция, обозначаемая $\text{[math]}$ , равная наименьшему показателю $\text{[math]}$ такому, что

\text{[math]}

Алгори́тм Тоне́лли — Ше́нкса относится к модулярной арифметике и используется для решения сравнения

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.