Пентатопное число

Пентатоп с длиной стороны 5 содержит 70 трёхмерных сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти тетраэдральных чисел. Например, нижний слой содержит 35 сфер

Пентато́пные чи́сла, называемые также гипертетраэдральными — это фигурные числа, представляющие правильные четырёхмерные симплексы (пентатопы или гипертетраэдры). Пентатопные числа являются четырёхмерным обобщением плоских треугольных и пространственных тетраэдральных чисел.

Определение и общая формула

$n$ -е по порядку пентатопное число определяется как сумма первых $n$ тетраэдральных чисел.

Начало последовательности пентатопных чисел:

1,5,15,35,70,126,210,330,495,715,\dots

(последовательность A000292 в OEIS).

{\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\{\color {red}1}\quad 3\ \quad 3\quad 1\\{\color {green}1}\quad {\color {red}4}\ \quad 6\ \quad 4\quad 1\\1\quad {\color {green}5}\quad {\color {red}10}\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad {\color {green}15}\quad {\color {red}20}\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad {\color {green}35}\quad {\color {red}35}\quad 21\quad 7\quad 1\\\end{array}}

Тетраэдральные (красные) и пентатопные (зелёные) числа в треугольнике Паскаля

Общая формула для $n$ -го по порядку пентатопного числа $PT_{n}$ :

PT_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={n+3 \choose 4}

Пентатопные числа находятся на 5-й диагональной линии в треугольнике Паскаля (см. рисунок), под диагональю тетраэдральных чисел.

Свойства

Два из каждых трёх пентатопных чисел (номера которых не делятся на 3) являются пятиугольными числами^[1].

Ряд из обратных пентатопных чисел сходится^[2]:

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{35}}\dots ={\frac {4}{3}}

Применение

В биохимии пентатопные числа представляют количество возможных расположений $n$ различных белковых субъединиц в тетраэдральном белке^[англ.].

Примечания

↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 129.
↑ Rockett, Andrew M. (1981), "Sums of the inverses of binomial coefficients" (PDF), Fibonacci Quarterly, 19 (5): 433—437, Архивировано из оригинала (PDF) 9 августа 2020, Дата обращения: 16 июня 2019. Theorem 2, p. 435.

Литература

Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
Pentatope Number Архивная копия от 24 июля 2019 на Wayback Machine (англ.)

Фигурные числа

Плоские

Классические многоугольные	Треугольные Квадратные Пятиугольные Шестиугольные Семиугольные Восьмиугольные Двенадцатиугольные
Центрированные	Треугольные Квадратные Пятиугольные Шестиугольные Семиугольные Восьмиугольные Девятиугольные Десятиугольные

Трёхмерные

Пирамидальные	Тетраэдральные Квадратные пирамидальные
Многогранные	Кубические Октаэдральные Додекаэдральные Икосаэдральные Звёздчатые октаэдральные

Четырёхмерные

Многогранные	Пентатопные Биквадратные

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Сложение</span> математическая операция

Сложе́ние (прибавле́ние) — одна из основных бинарных математических операций двух аргументов (слагаемых), результатом которой является новое число (сумма), получаемое увеличением значения первого аргумента на значение второго аргумента. То есть каждой паре элементов $\text{[math]}$ из множества $\text{[math]}$ ставится в соответствие элемент $\text{[math]}$ , называемый суммой $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Это одна из четырёх элементарных математических операций арифметики. Приоритет её в обычном порядке операций равен приоритету вычитания, но ниже, чем у возведения в степень, извлечения корня, умножения и деления. На письме сложение обычно обозначается с помощью знака «плюс»: $\text{[math]}$ .
Сложение возможно, только если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов. Так, на картинке справа запись $\text{[math]}$ обозначает три яблока и два яблока вместе, что в сумме даёт пять яблок. Но нельзя сложить, например, 3 яблока и 2 груши.

<span class="mw-page-title-main">Вычитание</span>

Вычита́ние (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций двух аргументов, результатом которой является новое число (разность), получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»: $\text{[math]}$ . Вычитание — операция обратная сложению.

Непрерывная дробь — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

\text{[math]}

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается $\text{[math]}$ , произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа $\text{[math]}$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $\text{[math]}$ включительно:

\text{[math]}

Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе и представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат» или «в куб».

Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями. Результат умножения называется их произведением.

<span class="mw-page-title-main">Треугольное число</span> класс фигурных чисел

Треугольное число — один из классов фигурных многоугольных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Как видно из рисунка, $\text{[math]}$ -е треугольное число $\text{[math]}$ — это сумма $\text{[math]}$ первых натуральных чисел:

\text{[math]}

Полный квадрат, также точный квадрат или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

<span class="mw-page-title-main">Куб (алгебра)</span> число в третьей степени

Кубом числа $\text{[math]}$ называется результат возведения числа в степень 3, то есть произведение трёх множителей, каждый из которых равен $\text{[math]}$ Эта арифметическая операция называется «возведением в куб», её результат обозначается $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Соотноше́ние Безу́ — представление наибольшего общего делителя целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами.

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.

Квадра́тное пирамида́льное число́ — пространственное фигурное число, представляющее пирамиду, с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в решётке из N × N точек.

Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

<span class="mw-page-title-main">Тетраэдральное число</span> тетраэдрические числа 4- мерного пространствафигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник

Тетраэдра́льные числа, называемые также треугольными пирамидальными числами — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник. $\text{[math]}$ -е по порядку тетраэдра́льное число $\text{[math]}$ определяется как сумма $\text{[math]}$ первых треугольных чисел :

\text{[math]}

Центрированные многоугольные числа — класс плоских $\text{[math]}$ -угольных фигурных чисел, получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный $\text{[math]}$ -угольник с $\text{[math]}$ точками вершин, каждая сторона содержит две точки. Далее снаружи строятся новые слои $\text{[math]}$ -угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на $\text{[math]}$ больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа.

Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид :

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…

Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями, октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел:

\text{[math]}

Додекаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел, связанная с додекаэдром. Общая формула для $\text{[math]}$ -го по порядку додекаэдрального числа $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Икосаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел, связанная с икосаэдром. Общая формула для $\text{[math]}$ -го по порядку икосаэдрального числа $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Семиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность семиугольных чисел имеет вид :

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.