Первая аксиома счётности

Первая аксиома счётности ― понятие общей топологии. Топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счётности, если система окрестностей всякой его точки обладает счётной базой.

Примеры

Первой аксиоме счётности удовлетворяют

метрические пространства,
пространство непрерывных функций на отрезке и др.
всякое дискретное топологическое пространство

Первой аксиоме счётности не удовлетворяют

Топология Зарисского на вещественной прямой,
Пространство Аренса — Форта.

Свойства

Пространства, удовлетворяющие второй аксиоме счётности, удовлетворяют и первой аксиоме счётности.
- Обратное неверно, например, всякое несчётное пространство с дискретной топологией не удовлетворяет второй аксиоме счётности.
В пространствах с первой аксиомой счётности справедливо утверждение: точка принадлежит замыканию некоторого множества тогда и только тогда, когда существует последовательность точек этого множества, сходящаяся к данной.
- Понятие сходимости последовательности и соответствующего ее предела корректно определено только для пространств с первой аксиомой счётности, так как именно в таких пространствах если существует предел последовательности, то он единственный.

История

Класс пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счётности, выделен Хаусдорфом в 1914 году.

См. также

Вторая аксиома счётности

Похожие исследовательские статьи

О́бщая тополо́гия — раздел топологии, в котором изучаются понятия непрерывности и предела в наиболее общем смысле.

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T₂.

Сепара́бельное пространство — топологическое пространство, в котором можно выделить счётное всюду плотное подмножество.

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

База топологии — семейство открытых подмножеств топологического пространства $\text{[math]}$ , такое, что любое открытое множество в $\text{[math]}$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Точка конденсации — усиленный вариант предельной точки и специальный вариант точки накопления в общей топологии: для заданного множества $\text{[math]}$ в топологическом пространстве $\text{[math]}$ точка $\text{[math]}$ называется точкой конденсации, если во всякой окрестности $\text{[math]}$ содержится несчётное множество точек множества $\text{[math]}$ .

Норма́льное простра́нство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁, T₄, то есть такое топологическое пространство, в котором одноточечные множества замкнуты и любые два непересекающихся замкнутых множества отделимы окрестностями (то есть содержатся в непересекающихся открытых множествах).

Вполне регулярное пространство или тихоновское пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁ и T_3½, то есть такое топологическое пространство, в котором все одноточечные множества замкнуты и для любого замкнутого множества и точки вне его существует непрерывная числовая функция, равная единице на множестве и нулю в точке (А. Н. Тихонов, 1930).

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Вторая аксиома счётности ― понятие общей топологии. Топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, если оно обладает не более чем счётной базой.

В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие предела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении дифференциального и интегрального исчислений.

Направленность — обобщение понятия последовательности применяемое главным образом в топологии позволяет нужным образом обобщить понятие предела последовательности.

Топологическая группа G называется дискретной группой, если в ней нет предельной точки. Эквивалентно, группа G дискретна тогда и только тогда, когда её нейтральный элемент является изолированной точкой. Другими словами, индуцированная топология в G является дискретным пространством. Например, целые числа $\text{[math]}$ образуют дискретную подгруппу вещественных чисел $\text{[math]}$ , а вот рациональные числа $\text{[math]}$ , не образуют. Дискретная группа является топологической группой G, снабжённой дискретной топологией.

Лемма Линделёфа — классическая лемма общей топологии, которая гласит, что если топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, то из всякого его открытого покрытия можно выделить не более чем счётное подпокрытие.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.