Первый интеграл

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.,\quad x\in U}$

— дифференцируемая функция ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, такая, что её производная по направлению векторного поля ${\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}$

${\displaystyle L_{A}f=a_{1}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\dots +a_{n}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0}$

для всех ${\displaystyle x}$ из области ${\displaystyle U}$. Другими словами, функция ${\displaystyle f}$ постоянна на любом решении системы, содержащемся в области ${\displaystyle U}$.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть ${\displaystyle U}$ — область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}$ — дифференцируемое векторное поле в ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle x_{0}\in U}$, ${\displaystyle A(x_{0})\neq 0}$. Тогда существует такая окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$, что система дифференциальных уравнений

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{x_{1}}'&=&a_{1}(x)\\\dots &&\\{x_{n}}'&=&a_{n}(x)\end{matrix}}\right.}$

имеет в этой окрестности ровно ${\displaystyle n-1}$ функционально независимых первых интегралов.

Для уравнения ${\displaystyle x''+V(x)=0}$ относительно функции ${\displaystyle x(t)}$ первым интегралом является функция ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}x'^{2}+\int \limits _{x_{0}}^{x}V(z)dz}$ (полная энергия в физических приложениях).

• Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». М.: Наука, 1966.