Плоскость Тихонова

Плоскость Тихонова — пример нормального, но не вполне нормального пространства. Строится как произведение пространств ординалов $[0,\omega ]$ и $[0,\omega _{1}]$ , где $\omega$ — первый счётный ординал, $\omega _{1}$ — первый несчетный ординал^[1].

Является хаусдорфовым компактным пространством и, следовательно, нормальным. Не является вполне нормальным, так как при удалении точки $(\omega ,\omega _{1})$ пространство теряет свойство нормальности: для замкнутых множеств $[0,\omega )\times \{\omega _{1}\}$ и $\{\omega \}\times [0,\omega _{1})$ не выполняется аксиома отделимости T₄. Не является совершенным, так как одноточечное подпространство $\{(\omega ,\omega _{1})\}$ замкнуто и не представимо как счетное пересечение открытых^[1].

Иногда плоскостью Тихонова называют то же пространство, но с выколотой точкой — $[0,\omega ]\times [0,\omega _{1}]\setminus \{(\omega ,\omega _{1})\}$ ^[2].

Примечания

↑ ¹ ² Келли, 1968, с. 179.
↑ Энгелькинг, 1986, с. 353.

Литература

Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Келли Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968. — 383 с.

Похожие исследовательские статьи

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Замкнутое множество — подмножество $\text{[math]}$ топологического пространства $\text{[math]}$ с топологией $\text{[math]}$ , дополнение к которому открыто: $\text{[math]}$ . Впервые определены Георгом Кантором в 1884 году.

Локально компактное пространство — топологическое пространство, у каждой точки которого существует открытая окрестность, замыкание которой компактно. Иногда используется более слабое определение: достаточно чтобы каждая точка имела компактную окрестность. В случае хаусдорфова пространства эти определения эквивалентны.

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Гильбертов кирпич — тихоновский куб счётного веса, то есть топологическое пространство, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков $\text{[math]}$ .

База топологии — семейство открытых подмножеств топологического пространства $\text{[math]}$ , такое, что любое открытое множество в $\text{[math]}$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Норма́льное простра́нство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁, T₄, то есть такое топологическое пространство, в котором одноточечные множества замкнуты и любые два непересекающихся замкнутых множества отделимы окрестностями (то есть содержатся в непересекающихся открытых множествах).

<span class="mw-page-title-main">Порядковое число</span> порядковый тип вполне упорядоченного множества

В теории множеств порядковым числом, или ординалом называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными. Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.

Вполне регулярное пространство или тихоновское пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁ и T_3½, то есть такое топологическое пространство, в котором все одноточечные множества замкнуты и для любого замкнутого множества и точки вне его существует непрерывная числовая функция, равная единице на множестве и нулю в точке (А. Н. Тихонов, 1930).

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $\text{[math]}$ , единичного полуинтервала $\text{[math]}$ и произвольного множества $\text{[math]}$ заданной мощности $\text{[math]}$ , называемой колючестью ежа, как:

\text{[math]}

Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным. Обозначается, как правило, $\text{[math]}$ .

Совершенное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором каждое замкнутое множество является G_δ-множеством, то есть представимо в виде счётного пересечения открытых множеств.

Универсальное пространство — топологическое пространство $\text{[math]}$ , такое, что $\text{[math]}$ принадлежит классу $\text{[math]}$ и каждое пространство $\text{[math]}$ из класса $\text{[math]}$ вкладывается в $\text{[math]}$ , то есть $\text{[math]}$ гомеоморфно подпространству пространства $\text{[math]}$ . С помощью универсальных пространств можно свести изучение класса топологических пространств к изучению подпространств конкретного пространства. Часто для доказательства универсальности пространства используется теорема о диагональном отображении.

<span class="mw-page-title-main">Иерархия алефов</span> теория множеств

Иера́рхия а́лефов в теории множеств и в математике вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления мощности бесконечных вполне упорядоченных множеств. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность которых обозначается с помощью буквы алеф (ℵ) еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.

Компактификация Волмэна — Шанина — это компактификация топологических пространств $\text{[math]}$ , которую построил Волмэн.

Прямая Александрова — топологическое пространство, один из основных контрпримеров, используемых в топологии: обычная вещественная прямая состоит из счётного числа отрезков $\text{[math]}$ , расположенных друг за другом, а прямая Александрова строится из несчётного числа таких отрезков. Построена Павлом Александровым в 1924 году.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.