Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.
Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.
Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Понятие сопряжённых функторов и сам термин были предложены Даниэлем Каном в 1956 году. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.
Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными свойствами или характеристиками некоторого математического объекта. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.
В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру. Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, потому что оно появляется в большинстве её приложений.
Элемента́рный то́пос — категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств, основной предмет изучения теории топосов. Средствами элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.
Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.
Во многих областях математики полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение универсального свойства использует язык теории категорий, чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.
Забывающий функтор — теоретико-категорный функтор, который «забывает» некоторые или все алгебраические структуры и свойства исходной области, то есть переводит области, наделённые дополнительными структурами и свойствами, в кообласти с меньшими ограничениями.
Конкретная категория в математике — категория, снабжённая строгим функтором в категорию множеств. Благодаря этому функтору можно оперировать с объектами такой категории образом, сходным с работой с множествами с дополнительной структурой, а морфизмы представлять как функции, сохраняющие дополнительную структуру. Многие категории имеют очевидную интерпретацию конкретных категорий, например, категория групп, категория топологических пространств и собственно категория множеств. С другой стороны, существуют неконкретизируемые категории; например, категория гомотопий топологических пространств неконкретизируема, то есть не допускает строгого функтора в категорию множеств.
В теории категорий функторы между двумя зафиксированными категориями образуют категорию, морфизмы в которой — естественные преобразования.
Категория запятой — специальная теоретико-категорная конструкция, позволяющая изучать морфизмы не как соотнесения объектов категории друг с другом, а как самостоятельные объекты. Строится как особая категория для произвольной пары функторов в общую категорию, описана Ловером как обобщение категорий объектов и морфизмов. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального обозначения Ловера; впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства, но название для конструкции сохранилось.
В теории категорий множества Hom позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.
В теория категорий, замкнутая моноидальная категория — это категория, позволяющая брать тензорные произведения объектов, а также рассматривать объекты, соответствующие множествам морфизмов. Классический пример — категория множеств, в которой существует декартово произведение множеств, а также множество функций между двумя множествами. «Объект, соответствующий множеству морфизмов» обычно называют внутренним Hom.
Предпучок в теории категорий — конструкция, обобщающая топологическое понятие предпучка.
Лемма Йонеды (Ёнэды) — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли. Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.
В теории категорий, представимый функтор — функтор специального типа из произвольной категории в категорию множеств. В некотором смысле, такие функторы задают представление категории в терминах множеств и функций.
Топология Гротендика — структура на категории, которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства. Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом или сайтом.
Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство, точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов 
, факторизованному по некоторому отношению эквивалентности 
. Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов, может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.
Производная категория D(A) абелевой категории A представляет собой конструкцию из гомологической алгебры, введённую для уточнения и в определённом смысле упрощения теории производных функторов, определённых на A. Конструкция определяется таким образом, что объектами D(A) становятся цепные комплексы объектов из A, причем два таких комплекса считаются изоморфными, когда существует гомоморфизм между этими комплексами, индуцирующий изоморфизм гомологий этих комплексов. Затем для цепных комплексов можно определить производные функторы, уточняя понятие гиперкогомологий. Определения приводят к существенному упрощению формул, в противном случае описываемых сложными спектральными последовательностями.