Позиционная сила

Позиционная сила — сила, действующая на материальную точку и зависящая только от координат материальной точки. Примерами позиционных сил являются: сила упругости, сила всемирного тяготения. Прямолинейные колебания материальной точки под действием позиционной силы всегда являются изохронными.

При прямолинейном движении по оси ${\displaystyle Ox}$ проекция позиционной силы выражается формулой ${\displaystyle P_{x}=f(x)}$. При начальных данных ${\displaystyle t_{0},x_{0},v_{0}}$ согласно закону сохранения энергии, скорость ${\displaystyle v}$ определяется формулой ${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+{\frac {2}{m}}\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx}$. Движение происходит на отрезке оси ${\displaystyle Ox}$, на котором функция ${\displaystyle \psi (x)=v_{0}^{2}+{\frac {2}{m}}\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx}$ не отрицательна,${\displaystyle \psi (x)\geqslant 0}$. Если уравнение ${\displaystyle \psi (x)=0}$ имеет два простых корня ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$, между которыми лежит начальная абсцисса ${\displaystyle x_{0}}$, так что ${\displaystyle \psi (x_{1})=\psi (x_{2})=0,\psi _{1}^{'}(x_{1})>0,\psi _{2}^{'}(x_{2})<0}$, то движение представляет собой колебания на отрезке ${\displaystyle x_{1}\leqslant x\leqslant x_{2}}$ с периодом ${\displaystyle \tau =\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {dx}{\sqrt {\psi (x)}}}}$. Эти колебания являются изохронными, так как их период постоянен. При ${\displaystyle v_{0}<0}$ первый момент ${\displaystyle t_{1}}$, когда точка достигает конца интервала колебания и получает скорость, равную нулю, определяется формулой ${\displaystyle t_{1}=t_{0}+\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{\sqrt {\psi (x)}}}}$, последующие моменты, в которые ${\displaystyle v=0}$, связаны друг с другом соотношением ${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\tau }$^[1]