Поличисла

Алгебра поличисел ${\displaystyle P_{n}}$ реализуется элементами ${\displaystyle A\in P_{n}}$

${\displaystyle A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},}$

где ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {R} ,}$ а ${\displaystyle e_{i}}$ — набор образующих ${\displaystyle P_{n}}$, подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):

${\displaystyle e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i},}$

а сама представляет собой следующий объект (прямая сумма):

${\displaystyle P_{n}~{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}~\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R} } _{n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.}$

Нетрудно проверить, что умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все ${\displaystyle A_{i}\neq 0}$ (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:

${\displaystyle I=e_{1}+\dots +e_{n}}$.

На алгебре ${\displaystyle P_{n}}$ существует n-1 операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:

${\displaystyle A^{(1)}=A^{\ast }=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\dots +A_{n-1}e_{n},}$

которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла ${\displaystyle A}$. k-ое комплексное сопряжение можно определить формулой:

${\displaystyle A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast }\quad }$ (${\displaystyle k}$ — раз)

Очевидно, что ${\displaystyle A^{(n)}=A.}$

Рассмотрим поличисло вида

${\displaystyle N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\dots A^{(n-1)},}$ (1)

где ${\displaystyle A\in P_{n}}$.

Нетрудно проверить, что ${\displaystyle N(A)}$ вещественно в том смысле, что

${\displaystyle N(A)=r^{n}I,}$ где ${\displaystyle r^{n}\in R}$.

Число ${\displaystyle r}$ называется (квази)нормой поличисла ${\displaystyle A}$. Квазинорма ${\displaystyle r}$ выражается через координаты поличисла ${\displaystyle A}$ по формуле :

${\displaystyle r^{n}=A_{1}A_{2}\dots A_{n}=G(A,A,\dots ,A)}$,       (2)

где ${\displaystyle G}$ — n-форма

${\displaystyle G={\hat {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\right)}$,             (3)

${\displaystyle {\hat {S}}}$ — оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда — Моора. Формулы (1)-(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда — Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой ${\displaystyle N(A)}$, являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{\ast }}$ на комплексной плоскости.

По аналогии с комплексной билинейной формой:

${\displaystyle (\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )}$,

где ${\displaystyle \zeta ,\xi \in \mathbb {C} }$, можно рассмотреть n-линейную форму

${\displaystyle (A,B,\dots ,Z)={\text{Re}}(AB\dots Z)=\sum \limits _{\sigma (A,B,\dots ,Z)}AB^{(1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\dots },Z).\quad }$      (4)

Здесь суммирование производится по множеству ${\displaystyle \sigma (A,B,{\dots },Z)}$ всех перестановок элементов ${\displaystyle A,B,{\dots },Z\in P_{n}}$. Последний знак равенства в (4) (он устанавливается непосредственной проверкой) также выявляет генетическую связь алгебр поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда — Моора.

Можно показать, что описанная выше алгебра поличисел ${\displaystyle P_{n}}$ является прямой суммой ${\displaystyle n}$ экземпляров алгебры вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она, в определенном смысле, максимально симметрична (содержит ${\displaystyle n}$ гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией будет поличисловая алгебра ${\displaystyle P_{n,m},}$ представляющая собой прямую сумму ${\displaystyle n}$ экземпляров алгебры вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle m}$ экземпляров алгебры комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$^[1].

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973, с.138-140
• М. А. Лаврентьев, Б. О. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.
• Г. И. Гарасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: Тетру, 2009.
• С. С. Кокарев. Лекции по финслеровой геометрии и гиперкомплексным числам. В сб. научных трудов РНОЦ «Логос», вып. 5, Ярославль (2010), с.19-121