Ри́манова геоме́трия — раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия, то есть гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, иначе говоря — с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, причём эта метрика гладко меняется от точки к точке. Иногда, особенно часто в математической физике, под римановой геометрией подразумевают также и псевдориманову геометрию многообразий с псевдоримановой метрикой, например, геометрию пространства-времени специальной и общей теории относительности.
Риманово многообразие, или риманово пространство (M, g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.
Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.
Риманов тензор кривизны представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением.
Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик, описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» от соответствующих «плоских» объектов.
Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.
Вторая квадратичная форма поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Алексе́й Васи́льевич Погоре́лов — советский математик. Специалист в области выпуклой и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и теории оболочек. Академик АН СССР / РАН. Лауреат Ленинской премии.
Формула Гаусса — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гауссова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.
Ви́ктор Андре́евич Топоно́гов — советский и российский геометр, доктор физико-математических наук (1969), профессор кафедры геометрии и топологии физического факультета Новосибирского государственного университета (1972), ученик А. И. Фета.
Секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий.
Отображение Гаусса — отображение из гладкой поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве в единичную сферу, при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке. Названо в честь Карла Фридриха Гаусса.
Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.
Скалярная кривизна — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается 
или 
.
Гиперболическая точка поверхности — в дифференциальной геометрии точка двухмерной поверхности, в которой гауссова кривизна поверхности отрицательна. В гиперболической точке главные кривизны имеют противоположный знак.
Кривизна́:
- Кривизна — отклонение формы объекта от прямой.
- Кривизна ствола — отклонение оси ствола дерева от прямой линии.
Theorema Egregium — исторически важный результат в дифференциальной геометрии, доказанный Гауссом. В современной формулировке теорема утверждает следующее:
- Гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности. Иными словами, гауссова кривизна может быть определена исключительно путём измерения углов, расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве.
Кривизна римановых многообразий численно характеризует отличие римановой метрики многообразия от евклидовой в данной точке.
Формулой Гаусса называются некоторые формулы, названные в честь немецкого математика Карла Гаусса:
- Формула Гаусса — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну.
- Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.
- Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы Гаусса — Бонне на высшие размерности.
- Интерполяционная формула Гаусса для интерполяции функции, где в качестве узлов интерполяции используются ближайшие к точке интерполирования узлы.
- Формула численного интегрирования Гаусса — метод численного интегрирования Гаусса.
- Квадратурная формула Гаусса — Лагерра — улучшение формулы численного интегрирования Гаусса.
- Формула площади Гаусса для определения площади многоугольника.
- Формула Гаусса — Остроградского выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность.
- Алгоритм Гаусса вычисления даты Пасхи
- Формулами Гаусса иногда называют формулы Деламбра в сферической тригонометрии.
