Полугеодезические координаты

Полугеодезические координаты или геодезические нормальные координаты ― координаты ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ в ${\displaystyle n}$-мерном римановом многообразии, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие ${\displaystyle x_{1}}$, являются геодезическими, на которых ${\displaystyle x_{1}}$ играет роль натурального параметра, а координатные поверхности ${\displaystyle x_{1}=\mathrm {const} }$ ― ортогональны этим геодезическим.

В полугеодезических координатах первая квадратичная форма имеет вид^[1]

${\displaystyle \mathrm {I} =dx_{1}^{2}+\sum _{i,j=2}^{n}g_{ij}dx_{i}dx_{j},}$

то есть ${\displaystyle g_{11}\equiv 1}$ и ${\displaystyle g_{1j}\equiv 0}$ при всех ${\displaystyle j>1}$.

• Декартовы координаты на евклидовом пространстве являются полугеодезическими.

• Пространство Лобачевского допускает полугеодезические координаты с метрическим тензором^[]

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&e^{2\cdot x_{1}}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&e^{2\cdot x_{1}}\end{pmatrix}}}$

  • Иначе говоря, ${\displaystyle n}$-мерное пространство Лобачевского изометрично искривлённому произведению ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}{\mathrel {{\times }_{\exp }}}\mathbb {R} }$.

• Полугеодезические координаты можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки любого риманова многообразия^[1].

• Любое полное одновязное многообразие неположительной кривизны допускает глобальные полугеодезические координаты с первой координатой равной функции Буземана^[].

• В случае двумерной поверхности (многообразия) первая квадратичная форма в полугеодезических координатах ${\displaystyle u,v}$ имеет вид^[1]

  ${\displaystyle \mathrm {I} =du^{2}+B^{2}(u,v)dv^{2}}$

с положительной функцией ${\displaystyle B(u,v)}$, при этом гауссова кривизна поверхности вычисляется по формуле

${\displaystyle K=-B_{uu}/B.}$

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии, М.: Наука, 1981.
• W. Klingenberg. Riemannian geometry, de Gruyter (1982).
• W. Klingenberg. A course in differential geometry, Springer (1983).
• B. O'Neill. Semi-Riemannian geometry (with applications to relativity), Acad. Press (1983).

• А. В. Чернавский. Дифференциальная геометрия, 2 курс.
• Encyclopedia of Mathematics