Полугладкая функция

Полугладкая функция — обобщение понятия гладкая функция, включающее гладкие, выпуклые, кусочно-линейные функции.

Определение

Функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ называется полугладкой если в каждой точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ существует подмножество $\partial _{x}f$ линейных операторов $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ такое что для любой последовательности $x_{n}\to x$ и $\ell _{n}\in \partial _{x_{n}}f$ выполнено

{\frac {f(x)-f(x_{n})-\ell _{n}(x-x_{n})}{x-x_{n}}}\to 0

Литература

Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения

Похожие исследовательские статьи

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной $\text{[math]}$ , операции дифференцирования соответствует дифференцирование по $\text{[math]}$ . Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Эллисом Колчином.

Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

<span class="mw-page-title-main">Касательное пространство</span>

Касательное пространство к гладкому многообразию $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Условия Коши — Римана</span>

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную $\text{[math]}$ и мнимую $\text{[math]}$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $\text{[math]}$ .

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

<span class="mw-page-title-main">Гиперболические уравнения</span>

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Обобщённая фу́нкция, или распределе́ние, — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

$\text{[math]}$ — это пространства измеримых функций, таких, что их $\text{[math]}$ -я степень интегрируема, где $\text{[math]}$ .

Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Критической точкой дифференцируемой функции $\text{[math]}$ называется точка, в которой её дифференциал обращается в нуль. Это условие эквивалентно тому, что в данной точке все частные производные первого порядка обращаются в нуль, геометрически оно означает, что касательная гиперплоскость к графику функции горизонтальна. В простейшем случае n=1 это значит, что производная $\text{[math]}$ в данной точке равна нулю. Это условие является необходимым для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции.

Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма, описывающая поведение функции во втором порядке.

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения, он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению $\text{[math]}$ . Обычно обозначается через $\text{[math]}$ . Принимает значения в $\text{[math]}$ , кольце когомологий с коэффициентами в $\text{[math]}$ .

Кратность критической точки $\text{[math]}$ -гладкой функции $\text{[math]}$ — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения этой функции в рассматриваемой точке.

Комплексная дифференциальная форма — дифференциальная форма с комплексными коэффициентами, обычно рассматривается на комплексных многообразиях.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.