Полурегулярная мозаика

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Полурегулярная мозаика[1] — евклидова мозаика, замощающих плоскость двумя или более правильными многоугольниками. Разные авторы перечисляют различные наборы мозаик. Наиболее систематический подход, рассматривающий орбиты симметрии, относится к 2-однородным мозаикам, которых 20. Некоторые из полурегулярных мозаик, фактически, являются 3-однородными мозаиками.

20 2-однородных мозаик

Грюнбаум и Шепард перечислили все 20 2-однородных мозаик в книге Tilings and Paterns (Мозаики и узоры, 1987)[2]:

2-однородные мозаики
cmm, 2*22

(44; 33.42)1		cmm, 2*22

(44; 33.42)2		pmm, *2222

(36; 33.42)1		cmm, 2*22

(36; 33.42)2		cmm, 2*22

(3.42.6; (3.6)2)2		pmm, *2222

(3.42.6; (3.6)2)1		pmm, *2222

((3.6)2; 32.62)
p4m, *442

(3.12.12; 3.4.3.12) 		p4g, 4*2

(33.42; 32.4.3.4)1		pgg, 2×

(33.42; 32.4.3.4)2		p6m, *632

(36; 32.62) 		p6m, *632

(36; 34.6)1		p6, 632

(36; 34.6)2		cmm, 2*22

(32.62; 34.6)
p6m, *632

(36; 32.4.3.4) 		p6m, *632

(3.4.6.4; 32.4.3.4) 		p6m, *632

(3.4.6.4; 33.42) 		p6m, *632

(3.4.6.4; 3.42.6) 		p6m, *632

(4.6.12; 3.4.6.4) 		p6m, *632

(36; 32.4.12)

Список Гика (1946)

Гика перечислил 10 мозаик с 2 или 3 типами вершин, назвав их полуправильными полиморфными разбиениями[3].

Иллюстрация XXVII
№ 12
4.6.12
3.4.6.4 		№ 13
3.4.6.4
3.3.3.4.4 		№ 13 bis.
3.4.4.6
3.3.4.3.4 		№ 13 ter.
3.4.4.6
3.3.3.4.4 		Иллюстрация XXIV
№ 13 quatuor.
3.4.6.4
3.3.4.3.4
№ 14
33.42
36		Иллюстрация XXVI
№ 14 bis.
3.3.4.3.4
3.3.3.4.4
36		№ 14 ter.
33.42
36		№ 15
3.3.4.12
36		Иллюстрация XXV
№ 16
3.3.4.12
3.3.4.3.4
36

Список Штейнгауза (1969)

Штейнгауз дал 5 примеров негомогенных мозаик из правильных многоугольников, кроме 11 правильных и полуправильных мозаик[4] (все они имеют 2 типа вершин, за исключением одной, являющейся 3-однородной).

2-однородные 3-однородные
Image 85
33.42
3.4.6.4 		Image 86
32.4.3.4
3.4.6.4 		Image 87
3.3.4.12
36		Image 89
33.42
32.4.3.4 		Image 88
3.12.12
3.3.4.12

Список Критчлоу (1970)

Критчлоу обнаружил 14 полурегулярных замощений, из которых 7 являются 2-однородными, а 7 — 3-однородными [5].

Он закодировал буквами названия типов вершин с верхним индексом, отражающим порядок грани. Он обнаружил, что вершины типа A, B, C, D, F и J не могут быть частью замощения, покрывающего всю плоскость. В таблице ниже

(none) означает невозможность присутствия в замощении
(semi) – получающаяся мозаика полуправильна
(demi) – получающаяся мозаика полурегулярна
(reg) – получающаяся мозаика является правильной
A
(none)		B
(none)		C
(none)		D
(none)		E
(semi)		F
(none)		G
(semi)		H
(semi)		J
(none)		K (2)
(reg)

3.7.42
3.8.24
3.9.18
3.10.15
3.12.12[англ.]
4.5.20
4.6.12[англ.]
4.8.8
5.5.10
63
L1
(demi)		L2
(demi)		M1
(demi)		M2
(semi)		N1
(demi)		N2
(semi)		P (3)
(reg)		Q1
(semi)		Q2
(semi)		R
(semi)		S (1)
(reg)

3.3.4.12
3.4.3.12
3.3.6.6
3.6.3.6
3.4.4.6
3.4.6.4[англ.]
44
3.3.4.3.4
3.3.3.4.4[англ.]
3.3.3.3.6
36
2-однородные
1 2 4 6 7 10 14
100px]]
(3.12.12; 3.4.3.12)
(36; 32.4.12)
(4.6.12; 3.4.6.4)
((3.6)2; 32.62)
(3.4.6.4; 32.4.3.4)
(36; 32.4.3.4)
(3.4.6.4; 3.42.6)
E+L2L1+(1)N1+GM1+M2N2+Q1Q1+(1)N1+Q2
3-однородные
3 5 8 9 11 12 13
(3.3.4.3.4; 3.3.4.12, 3.4.3.12) (36; 3.3.4.12; 3.3.4.3.4) (3.3.4.3.4; 3.3.3.4.4, 4.3.4.6) (36, 3.3.4.3.4) (36; 3.3.4.3.4, 3.3.3.4.4) (36; 3.3.4.3.4; 3.3.3.4.4) (3.4.6.4; 3.42.6)
L1+L2+Q1L1+Q1+(1)N1+Q1+Q2Q1+(1)Q1+Q2+(1)Q1+Q2+(1)N1+N2

Примечания

  1. ↑ В английском языке используется два слова — demiregular и semiregular, оба слова на русский можно перевести как полуправильные. Для различения этих понятий будем называть semiregular tilings полуправильными мозаиками, а demiregular tilings — полурегулярными.
  2. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987, с. 65.
  3. ↑ Ghyka, 1977, с. 73-80.
  4. ↑ Steinhaus, 1969, с. 79-82.
  5. ↑ Critchlow, 1987, с. 62-67.

Литература

  • M. Ghyka. The Geometry of Art and Life. — 2nd. — New York: Dover, 1977. Переиздание, книги 1946 года.
  • Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — ISBN 0-500-34033-1.
  • Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc, 1979. — С. 35-43. — ISBN 0-486-23729-X.
  • H. Steinhaus. Mathematical Snapshots. — 3rd. — Oxford University Press, 1969.Переиздание: 1999, New York, Dover
  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 65. — ISBN 0-7167-1193-1.
  • D. Chavey. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — С. 147–165. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
  • In Search of Demiregular Tilings, Helmer Aslaksen

Ссылки