Потенциал Юлинга

Потенциал Юлинга в квантовой электродинамике описывает потенциал взаимодействия между двумя электрическими зарядами, который, помимо классического кулоновского потенциала, содержит дополнительный член, отвечающий за электрическую поляризацию вакуума. Этот потенциал был предсказан Эдвином Альбрехтом Юлингом^[англ.] в 1935 году^[1][2].

Поправки Юлинга во взаимодействие зарядов в вакууме учитывают, что электромагнитное поле точечного заряда не действует на расстоянии мгновенно, а представляет собой взаимодействие, происходящее посредством переносчиков взаимодействий — фотонов. В квантовой теории поля из-за принципа неопределённости между энергией и временем один фотон может на короткое время сформировать виртуальную пару частица-античастица, которая влияет на точечный заряд. Этот эффект называется поляризацией вакуума, потому что он делает вакуум похожим на поляризуемую среду. Безусловно, доминирующий вклад вносит самая лёгкая заряженная элементарная частица — электрон (из-за малости массы вероятность её создания и длительность существования максимальны). Поправки Юлинга в повседневной практике незначительны, но позволяют с высокой точностью рассчитывать спектральные линии водородоподобных атомов.

Потенциал Юлинга определяется выражением

${\displaystyle V(r)={\frac {-e^{2}}{4\pi r}}\left(1+{\frac {e^{2}}{6\pi ^{2}}}\int _{1}^{\infty }dx\,e^{-2rm_{\text{e}}x}{\frac {2x^{2}+1}{2x^{4}}}{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,,}$

откуда видно, что этот потенциал представляет собой поправку к классическому кулоновскому потенциалу. Здесь ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ — масса электрона и ${\displaystyle e}$ — его заряд, измеренный на больших расстояниях.

Если ${\displaystyle r\gg 1/m}$, этот потенциал упрощается до^[3]

${\displaystyle V(r)\approx {\frac {-e^{2}}{4\pi r}}\left(1+{\frac {e^{2}}{16\pi ^{3/2}}}{\frac {1}{(m_{\text{e}}r)^{3/2}}}e^{-2m_{\text{e}}r}\right)\,,}$

в то время как для другого предельного случая ${\displaystyle r\ll 1/m}$ получается^[3]

${\displaystyle V(r)\approx {\frac {-e^{2}}{4\pi r}}\left(1+{\frac {e^{2}}{6\pi ^{2}}}\left(\log {\frac {1}{m_{\text{e}}r}}-\gamma -{\frac {5}{6}}\right)\right)\,,}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони (0,57721. . .).

Недавно было показано, что приведённый выше интеграл в выражении ${\displaystyle V(r)}$ можно вычислить в замкнутой форме с помощью модифицированных функций Бесселя второго рода ${\displaystyle K_{0}(z)}$ и его последующие интегралы^[4].

Поскольку потенциал Юлинга даёт значительный вклад только на малых расстояниях вблизи ядра, он в основном влияет на энергию s-орбиталей. Квантово-механическая теория возмущений может быть использована для расчёта этого влияния в атомном спектре атомов. Поправки квантовой электродинамики для вырожденных уровней энергии ${\displaystyle 2\mathrm {S} _{1/2}}$ атома водорода определяются выражением^[5]

${\displaystyle \Delta E(2\mathrm {S} _{1/2})\approx -1{.}122\times 10^{-7}\,{\text{эВ}}}$

до ведущего порядка параметра ${\displaystyle m_{\text{e}}c^{2}}$.

Поскольку волновая функция s-орбиталей не обращается в нуль в начале координат, то поправки, обеспечиваемые потенциалом Юлинга, имеют порядок ${\textstyle \alpha ^{5}}$ (где ${\textstyle \alpha }$ — постоянная тонкой структуры), и она становится менее важной для орбиталей с более высоким азимутальным квантовым числом. Это энергетическое расщепление в спектрах примерно в десять раз меньше, чем поправки на тонкую структуру, вычисляемую из уравнения Дирака для атома водорода, и это расщепление известно как лэмбовский сдвиг (который включает потенциал Юлинга и дополнительные более высокие поправки из квантовой электродинамики)^[5].

Эффект Юлинга также играет центральную роль в мюонном водороде, поскольку большая часть сдвига энергии возникает из-за поляризации вакуума^[5]. В отличие от других переменных, таких как расщепление тонкой структуры, которые масштабируются вместе с массой мюона, то есть с коэффициентом ${\textstyle m_{\mu }/m_{\mathrm {e} }\approx 200}$, масса лёгкого электрона продолжает оставаться решающим характеристическим размером для потенциала Юлинга. Энергетические поправки составляют по порядку величины ${\textstyle (m_{\mu }^{3}/m_{\mathrm {e} }^{2})c^{2}\alpha ^{5}}$^[5].