Почти всюду

Почти всюду обычно означает за исключением множества меры нуль. Точнее, если утверждение зависит от точки в пространстве с мерой, то говорят, что оно выполнено почти всюду, если оно выплняется для всех точек за исключением точек в некотором множестве меры нуль.^[1]

Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду или a.e. от англ. almost everywhere. Например для функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle h}$ выражения

${\displaystyle f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}h\qquad {\text{или}}\qquad f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{а.е}}}h}$

означают, что равенство ${\displaystyle f(x)=h(x)}$ выполняется при почти всех значениях переменной ${\displaystyle x}$.

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой. Обозначим символом ${\displaystyle T}$ множество точек из ${\displaystyle X}$, для которых верно некоторое утверждение ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Говорят, что утверждение ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ выполнено почти всюду (п.в.), если

${\displaystyle (X\setminus T)\subset A,\mu (A)=0}$

• Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым.
• Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью «почти достоверное событие»).

• Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо ${\displaystyle m(\mathbb {Q} )=0}$, где ${\displaystyle m}$ — мера Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

• Сходимость почти всюду