Правило Рунге

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов, было предложено К. Рунге в начале 20 века.^[1]

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Применение правила Рунге

Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
$\Delta _{2n}\approx \Theta |I_{2n}-I_{n}|$ , для формул левых и правых прямоугольников $\Theta =1$ , для формул средних прямоугольников и трапеций $\Theta ={\frac {1}{3}}$ , а для формулы Симпсона $\Theta ={\frac {1}{15}}$ .^[2] В общем случае $\Theta ={{1} \over {2^{p}-1}}$ . Под $p$ понимается порядок погрешности использованного численного метода.

Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов $N=n_{0},2n_{0},4n_{0},\dots$ , где $n_{0}$ — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие $\Delta _{2n}<\varepsilon$ , где $\varepsilon$ — заданная точность.

Оценка точности численного решения ОДУ

Также применяется для оценки точности решений обыкновенных дифференциальных уравнений на регулярных сетках. Для оценки требуется решить задачу на 2 сетках, один раз с шагом h ( $y_{i,h}$ ) и второй — с шагом h/2 ( $y_{i,h/2}$ ). Формула^[3]

${|y_{i,h}-y_{i,h/2}|} \over {2^{p}-1}$

дает погрешность решения $y_{i,h/2}$ . Под $p$ понимается порядок точности использованного численного метода. Например, для численного метода, имеющего четвёртый порядок точности, формула принимает вид:

${1 \over 15}|y_{i,h}-y_{i,h/2}|$

Примечания

↑ Ivan P. Gavrilyuk, «2.4 A posteriori error estimation and automatic grid generation.» // Exact and Truncated Difference Schemes for Boundary Value ODEs, Springer, 2011, ISBN 9783034801072, pages 76-77: «The first possibility is the classic technique which has been proposed by Carl Runge.»
↑ Огородников А. С., Орлов О. В.,6. Правило Рунге оценки погрешности интегрирования Архивная копия от 14 сентября 2013 на Wayback Machine // Лабораторная работа № 4. Численное интегрирование, Лабораторный практикум по курсу «Численные методы» (ЭНИН) Архивная копия от 8 декабря 2015 на Wayback Machine, Томский политехнический университет
↑ П. В. Виноградова, А. Г. Ереклинцев, 8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Архивная копия от 14 сентября 2013 на Wayback Machine // ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, Дальневосточный государственный университет путей сообщения, 2011

Литература

РУНГЕ ПРАВИЛО // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; 2 изд., т. 2, М., 1962;
Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1979. А. Б. Иванов.