Правильный четырёхмерный многогранник

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.

Правильные 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века, хотя полное множество было открыто много позже.

Существует шесть выпуклых и десять звёздчатых правильных 4-мерных многогранников, в общей сумме шестнадцать.

История

Тессеракт — один из 6 выпуклых правильных 4-мерных многогранников

Выпуклые 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких тел.

Шлефли нашёл также четыре правильных звёздчатых 4-мерных многогранника большой стодвадцатиячейник[англ.], большой звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.], великий шестистотячейник[англ.] и большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник. Он пропустил оставшиеся шесть, поскольку он не разрешал нарушения эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F − E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как {5,5/2} и {5/2,5}.

Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей книге на немецком Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (Введение в учение о делении поверхности шара с особым учётом его применения в теории равногранных и равноугольных многогранников) в 1883.

Построение

Существование правильного 4-мерного многогранника ограничено существованием правильных (3-мерных) многогранников , которые образуют его ячейки и ограничивают двугранный угол

чтобы ячейки представляли собой замкнутые 3-мерные поверхности.

Шесть выпуклых и десять звёздчатых многогранников, описываемых здесь, авляются единственными решениями, удовлетворяющими ограничениям.

Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, имеющие допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r}, которые проходят тест на диэдральный угол, но которые не дают конечные фигуры — {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырёхмерными аналогами платоновых тел в трёхмерном пространстве и выпуклых правильных многоугольников в двумерном.

Пять из них можно понимать как близкие аналоги платоновых тел. Существует одна дополнительная фигура, двадцатичетырёхъячейник, которая не имеет близкого трёхмерного эквивалента.

Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник ограничен множеством 3-мерных ячеек[англ.], которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Ячейки соприкасаются друг с другом по граням, образуя правильную структуру.

Свойства

Следующие таблицы перечисляют некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников. Группы симметрии этих 4-мерных многогранников все являются группами Коксетера и даны в данной статье. Число, следующее за названием группы, равно порядку группы.

ИменаРисунокСемействоШлефли
Коксетер		ВершинРёбраГраниЯчейки[англ.]Верш.
фигура		Двой-
ственный		Группа симметрии
пятиячейник
пятигранник
4-симплекс		n-симплекс
(Семейство An)		{3,3,3}
node_13node3node3node		51010
{3}		5
{3,3}		{3,3}(самодвой-
ственный)		A4
[3,3,3]		120
восьмиячейник
тессеракт
4-куб		n-куб
(Семейство Bn)		{4,3,3}
node_14node3node3node		163224
{4}		8
{4,3}		{3,3}16-ячейникB4
[4,3,3]		384
шестнадцатиячейник
4-ортоплекс		n-ортоплекс
(Семейство Bn)		{3,3,4}
node_13node3node4node		82432
{3}		16
{3,3}		{3,4}8-ячейникB4
[4,3,3]		384
двадцатичетырёхъячейник
октаплекс
полиоктаэдр (pO)		Семейство Fn{3,4,3}
node_13node4node3node		249696
{3}		24
{3,4}		{4,3}(самодвой-
ственный)		F4
[3,4,3]		1152
стодвадцатиячейник
додекаконтихорон
додекаплекс
полидодекаэдр (pD)		n-пятиугольный многогранник
(Семейство Hn)		{5,3,3}
node_15node3node3node		6001200720
{5}		120
{5,3}		{3,3}600-ячейникH4
[5,3,3]		14400
шестисотъячейник
тетраплекс
политетраэдр (pT)		n-пятиугольный многогранник
(Семейство Hn)		{3,3,5}
node_13node3node5node		1207201200
{3}		600
{3,3}		{3,5}120-ячейникH4
[5,3,3]		14400

Джон Конвей является сторонником имён симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT) [1].

Норман Джонсон является сторонником имён n-ячейник или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосаэдр (или додекаконтахорон) и гексакосихорон.[2][3][4]

Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников:

где Nk означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.).

Визуализация

Следующая таблица показывает некоторые 2-мерные проекции 4-мерных многогранников. Различные другие визуализации можно найти во внешних ссылках. Графы диаграмм Коксетера — Дынкина также даны ниже символа Шлефли.

A4 = [3,3,3]BC4 = [4,3,3]F4 = [3,4,3]H4 = [5,3,3]
Пятиячейник8-ячейник16-ячейник24-ячейник120-ячейник600-ячейник
{3,3,3}{4,3,3}{3,3,4}{3,4,3}{5,3,3}{3,3,5}
node_13node3node3nodenode_14node3node3nodenode_13node3node4nodenode_13node4node3nodenode_15node3node3nodenode_13node3node5node
3-мерные ортографические проекции

тетраэдральная
оболочка
(центрировано по ячейке/вершине)
кубическая
оболочка
(центрировано по ячейке)
кубическая
оболочка
(центрировано по ячейке)
кубооктаэдральная
оболочка
(центрировано по ячейке)
Усечённый
ромбический
ромботриаконтаэдр[англ.]
(центрировано по ячейке)
пентакиикоси-
додекаэдральная оболочка[англ.]
(центрировано по ячейке)
Каркасы диаграмм Шлегеля (Перспективная проекция)

центрировано по ячейке
центрировано по ячейке
центрировано по ячейке
центрировано по ячейке
центрировано по ячейке
центрировано по вершине
Каркасы стереографических проекций (3-сфера)

Правильные звёздчатые 4-мерные многогранники (Шлефли–Гесса)

Большой великий стодвадцатиячейник[англ.], один из десяти многогранников Шлефли–Гесса (ортографическая проекция).

Четырёхмерные многогранники Шлефли–Гесса — полный список десяти правильных самопересекающихся звёздчатых четырёхмерных многогранников [5]. Многогранники названы по именам открывателей — Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса. Каждый многогранник представлен символом Шлефли {p,q,r}, в котором одно из чисел — 5/2. Многогранники аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера — Пуансо.

Имена

Иерархия сокращённых имён Коксетера

Имена, приведённые здесь, даны Джоном Конвеем и расширяют имена Кэли для многогранников Кеплера — Пуансо — к модификаторам stellated (звёздчатый) и great (большой) он добавил grand (великий). Конвей определил следующие операции:

  1. stellation (образование звёздчатой формы) заменяет рёбра на более длинные на тех же прямых. (Пример — пятиугольник преобразуется в пентаграмму)
  2. greatening (увеличение) заменяет грани на грани большего размера на тех же плоскостях. (Пример — икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр)
  3. aggrandizement (возвеличивание) заменяет ячейки большими в тех же 3-мерных пространствах. (Пример — 600-cell возвеличивается в великий 600-ячейник[англ.])

Имена по Конвею для 10 форм из 3 4-мерных многогранников с правильными ячейками — pT=polytetrahedron (политетраэдр) {3,3,5} (тетраэдральный шестисотячейник), pI=polyicoshedron (полиикосаэдр) {3,5,5/2} (икосаэдральный стодвадцатиячейник[англ.]) и pD=polydodecahedron (полидодекаэдр) {5,3,3} (додекаэдральный стодвадцатиячейник) с модифицирующими приставками g, a и s для great (большой), grand (великий) и stellated (звёздчатый). Конечная звёздчатая форма, great grand stellated polydodecahedron (большой великий звёздчатый полидодекаэдр), тогда получит обозначение gaspD.

Симметрия

Все десять полихоров имеют [3,3,5] (H4) гексакосихорную симметрию[англ.]. Они генерируются шестью связанными группами симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].

Каждая группа имеет 2 правильных звёздчатых многогранников, за исключением двух самодвойственных групп, содержащих по одному многограннику. Таким образом, имеется 4 двойственные пары и 2 самодвойственные формы среди десяти правильных звёздчатых многогранников.

Свойства

Примечание:

  • Существует два уникальных расположения вершин[англ.], встречающихся в стодвадцатиячейнике и шестисотъячейнике.
  • Существует четыре уникальных расположения рёбер[англ.], которые показаны как каркасы ортографических проекций.
  • Существует семь уникальных расположения граней[англ.], показанные как тела (с цветными гранями) ортографических проекций.

Ячейки (3-мерные многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные рёберные фигуры[англ.] и многогранная вершинные фигуры представлены их символами Шлефли.

Название
Аббревиатура
Конвея 		Ортогональная
проекция 		Шлефли
Коксетер		Ячейки[англ.]
{p, q} 		Грани
{p} 		Рёбра
{r} 		Вершины
{q, r} 		Плот-
ность[англ.]		χ
Икосаэдральный стодвадцатиячейник[англ.]
полиикосаэдр (pI) 		{3,5,5/2}
node_13node5node5ratd2node		120
{3,5}
1200
{3}
720
{5/2}
120
{5,5/2}
4 480
Малый звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.]
звёздчатый
полидодекаэдр
(spD) 		{5/2,5,3}
node3node5node5ratd2node_1		120
{5/2,5}
720
{5/2}
1200
{3}
120
{5,3}
4 −480
Большой стодвадцатиячейник[англ.]
большой
полидодекаэдр
(gpD) 		{5,5/2,5}
node_15node5ratd2node5node		120
{5,5/2}
720
{5}
720
{5}
120
{5/2,5}
6 0
Великий стодвадцатиячейник[англ.]
великий
полидодекаэдр (apD) 		{5,3,5/2}
node_15node3node5ratd2node		120
{5,3}
720
{5}
720
{5/2}
120
{3,5/2}
20 0
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.]
большой звёздчатый
полидодекаэдр (gspD) 		{5/2,3,5}
node5node3node5ratd2node_1		120
{5/2,3}
720
{5/2}
720
{5}
120
{3,5}
20 0
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник[англ.]
большой звёздчатый
полидодекаэдр
(aspD) 		{5/2,5,5/2}
node_15ratd2node5node5ratd2node		120
{5/2,5}
720
{5/2}
720
{5/2}
120
{5,5/2}
66 0
Большой великий стодвадцатиячейник[англ.]
большой великий полидодекаэдр (gapD) 		{5,5/2,3}
node_15node5ratd2node3node		120
{5,5/2}
720
{5}
1200
{3}
120
{5/2,3}
76 −480
Большой икосаэдральный стодвадцатиячейник[англ.]
большой
полиикосаэдр
(gpI) 		{3,5/2,5}
node5node5ratd2node3node_1		120
{3,5/2}
1200
{3}
720
{5}
120
{5/2,5}
76 480
Великий шестисотъячейник[англ.]
великий
политетраэдр
(apT) 		{3,3,5/2}
node_13node3node5ratd2node		600
{3,3}
1200
{3}
720
{5/2}
120
{3,5/2}
191 0
Большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник
большой великий звёздчаты
полидодекаэдр
(gaspD) 		{5/2,3,3}
node3node3node5ratd2node_1		120
{5/2,3}
720
{5/2}
1200
{3}
600
{3,3}
191 0

См. также

  • Правильные многомерные многогранники
  • Список правильных многогранников и соединений
  • Бесконечные правильные 4-мерные многогранники:
    • Правильные евклидовы соты: {4,3,4}
    • Четыре компактных правильных гиперболических сот: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
    • Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
  • Абстрактные правильные 4-мерные многогранники:
    • Одиннадцатиячейник {3,5,3}
    • Пятидесятисемиячейник[англ.] {5,3,5}
  • Семейства однородных четырёхмерных многогранников[англ.], построенные на основе этих 6 правильных форм.
  • Платоновы тела
  • Тело Кеплера — Пуансо – правильные звёздчатые многогранники
  • Звёздчатый многоугольник – правильные звёздчатые многоугольники

Примечания

  1. ↑ Conway, 2008.
  2. ↑ Джонсон предложил также термин полихорон для названия 4-мерных многогранников как аналог трёхмерных многогранников (polyhedron) и двумерных многоугольников (polygon) как производная от греческих слов πολύ ("много") и χώρος ("пространство", "помещение")
  3. ↑ "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005. Дата обращения: 23 февраля 2016. Архивировано 29 ноября 2014 года.
  4. ↑ Johnson (2015), Chapter 11, Section 11.5 Spherical Coxeter groups
  5. ↑ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes

Литература

  • H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2nd. — John Wiley & Sons Inc., 1969. — ISBN 0-471-50458-0.
  • H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes[англ.]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • D. M. Y. Sommerville. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — New York.
    • Dover Publications, 1958
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 26, Regular Star-polytopes // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 404–408. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Edmund Hess. Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder. — 1883.
  • Edmund Hess. Uber die regulären Polytope höherer Art. — Marburg: Sitzungsber Gesells Beförderung gesammten Naturwiss, 1885. — С. 31-57.
  • H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
  • H.S.M. Coxeter. Regular Complex Polytopes. — 2nd. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-39490-1.
  • Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2004. — ISBN 0511058675.

Ссылки