Предаддитивная категория

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов $A$ , $B$ множество ${\text{Hom}}(A,B)$ имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

(g_{1}+g_{2})\circ f=g_{1}\circ f+g_{2}\circ f

g\circ (f_{1}+f_{2})=g\circ f_{1}+g\circ f_{2}

Предаддитивную категорию иногда называют также $Ab$ -категорией^[1].

Примеры

Категория абелевых групп $\mathbf {Ab}$ .
Категории левых R-модулей $R{\mbox{-}}\mathbf {Mod}$ и правых R-модулей $\mathbf {Mod} {\mbox{-}}R$ .

Аддитивные функторы

Функтор $T\colon A\to B$ называется аддитивным, если каждое отображение $T\colon {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\to {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})$ является гомоморфизмом абелевых групп.

Если ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$ — категории, причём ${\mathcal {D}}$ предаддитивна, то категория функторов $Funct({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$ также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если ${\mathcal {C}}$ тоже предаддитивна, то категория $Add({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$ аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если ${\mathcal {C}}$ предаддитивна, то категория $Mod({\mathcal {C}}):=Add({\mathcal {C}},\mathbf {Ab} )$ называется категорией модулей над ${\mathcal {C}}$ . Если ${\mathcal {C}}$ — предаддитивная категория из одного объекта — кольца $R$ , это приводит к обычному определению (левых) $R$ -модулей.

$Ab{\mbox{-}}\mathbf {Cat}$ — категория всех малых $Ab$ -категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаи

Кольцо — предаддитивная категория из одного объекта.
Аддитивная категория — предаддитивная категория с конечными произведениями.
Абелева категория — аддитивная категория, в которой существуют ядра и коядра, причём каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормален.

Примечания

↑ Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Литература

Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.

Похожие исследовательские статьи

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.

Двойственная категория — категория, построенная из заданной согласно теоретико-категорному принципу двойственности, то есть, для категории $\text{[math]}$ двойственной является категория $\text{[math]}$ с теми же объектами, что и $\text{[math]}$ и с множествами морфизмов $\text{[math]}$ . Композиция морфизмов в $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в категории $\text{[math]}$ определяется как композиция $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ . Понятия и утверждения, относящиеся к категории $\text{[math]}$ , заменяются двойственными понятиями и утверждениями в $\text{[math]}$ . Применение двойственности дважды переводит категорию в себя.

Мономорфи́зм ― морфизм $\text{[math]}$ категории $\text{[math]}$ , такой что из всякого равенства $\text{[math]}$ следует, что $\text{[math]}$ . Часто мономорфизм из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ обозначают $\text{[math]}$ .

Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Понятие сопряжённых функторов и сам термин были предложены Даниэлем Каном в 1956 году. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Забывающий функтор — теоретико-категорный функтор, который «забывает» некоторые или все алгебраические структуры и свойства исходной области, то есть переводит области, наделённые дополнительными структурами и свойствами, в кообласти с меньшими ограничениями.

Унивалентный функтор — функтор, который инъективен на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом. Полный функтор — двойственное понятие — функтор, который сюръективен на каждом множестве морфизмов с фиксированным образом и прообразом.

Точный функтор — функтор, который переводит точные последовательности в точные. Точные функторы удобны для вычислений в гомологической алгебре, поскольку их можно сразу применять к резольвентам объектов. Бо́льшая часть гомологической алгебры была построена для того, чтобы сделать возможной работу с функторами, которые не являются точными, но их отличие от точных поддаётся контролю.

Категория запятой — специальная теоретико-категорная конструкция, позволяющая изучать морфизмы не как соотнесения объектов категории друг с другом, а как самостоятельные объекты. Строится как особая категория для произвольной пары функторов в общую категорию, описана Ловером как обобщение категорий объектов и морфизмов. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального обозначения Ловера; впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства, но название для конструкции сохранилось.

Обогащённая категория в теории категорий — обобщение понятия категории, конструкция, в которой множество морфизмов между двумя объектами заменена на объект произвольной моноидальной категории. Использование такого понятия основано на наблюдении, что во многих практических приложениях множества морфизмов имеют дополнительную структуру. Для того, чтобы воспроизвести ассоциативную операцию композиции морфизмов в обычной категории, категория, из которой берутся морфизмы, должна иметь (ассоциативную) бинарную операцию с тождественным элементом, то есть как минимум иметь структуру моноидальной категории.

Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняюющие моноидальную структуру, то есть умножение и тождественный элемент.

Лемма Йонеды (Ёнэды) — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли. Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.

Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство, точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов $\text{[math]}$ , факторизованному по некоторому отношению эквивалентности $\text{[math]}$ . Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов, может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.

Инъективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия инъективного модуля. Двойственное понятие — проективный объект.

Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.

Спектральная последовательность Гротендика — это спектральная последовательность, которая вычисляет производные функторы композиции функторов $\text{[math]}$ по производным функторам F и G.

Проективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия проективного модуля.

Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ изоморфны, если существуют функторы $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , которые являются обратными друг другу, то есть, $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов.

Производная категория D(A) абелевой категории A представляет собой конструкцию из гомологической алгебры, введённую для уточнения и в определённом смысле упрощения теории производных функторов, определённых на A. Конструкция определяется таким образом, что объектами D(A) становятся цепные комплексы объектов из A, причем два таких комплекса считаются изоморфными, когда существует гомоморфизм между этими комплексами, индуцирующий изоморфизм гомологий этих комплексов. Затем для цепных комплексов можно определить производные функторы, уточняя понятие гиперкогомологий. Определения приводят к существенному упрощению формул, в противном случае описываемых сложными спектральными последовательностями.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.