Предельные теоремы Сегё

Предельные теоремы Сегё — группа результатов, описывающих асимптотическое поведение детерминантов больших теплицевых матриц^[1], впервые установленная Габором Сегё.

В рамках предельных теорем рассматривается функция ${\displaystyle \varphi \colon T\to \mathbb {C} }$, заданная на единичной окружности комплексной плоскости, и тёплицева матрица ${\displaystyle T_{n}(\varphi )}$ размера ${\displaystyle n\times n}$, определённая как:

${\displaystyle T_{n}(\phi )_{k,l}={\widehat {\phi }}(k-l),\quad 0\leqslant k,l\leqslant n-1}$,

где

${\displaystyle {\widehat {\phi }}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\phi (e^{i\theta })e^{-ik\theta }\,d\theta }$

являются коэффициентами Фурье функции ${\displaystyle \varphi }$.

Первая теорема Сегё^[1][2] утверждает, что при ${\displaystyle \varphi >0}$ и ${\displaystyle \varphi \in L_{1}(T)}$ справедливо:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{\det T_{n-1}(\phi )}}=\exp \left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log \phi (e^{i\theta })\,d\theta \right\}.}$

Правая часть является геометрическим средним функции ${\displaystyle \varphi }$(которое определено в силу соотношения между геометрическим и арифметическим средними; обозначается через ${\displaystyle G(\varphi )}$).

Вторая теорема Сегё^[1][3] (строгая теорема Сегё) утверждает, что если дополнительно потребовать, чтобы производная ${\displaystyle \varphi }$ была гёльдеровой функцией порядка ${\displaystyle \alpha >0}$, то справедливо:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{G^{n}(\phi )}}=\exp \left\{\sum _{k=1}^{\infty }k\left|{\widehat {(\log \phi )}}(k)\right|^{2}\right\}.}$