Преобразование Виленкина — Крестенсона

Преобразование Виленкина — Крестенсона — обобщение преобразования Уолша. Используется при анализе и синтезе устройств автоматики с элементами, выполняющими операции троичной и ${\displaystyle q}$-ичной логики.

Функцией Виленкина — Крестенсона называется функция, принимающая ${\displaystyle q}$ комплексных значений при интервале задания ${\displaystyle [0,q^{m}]}$ для любых натуральных чисел ${\displaystyle \omega ,m}$, когда ${\displaystyle 0\leqslant \omega \leqslant q^{m}-1}$. Функция Виленкина — Крестенсона задается формулой:

${\displaystyle vil^{q}(\omega ,\theta )=e^{j{\frac {2\pi }{q}}\sum _{\xi =0}^{m-1}}{\omega ^{m-1-\xi }\theta ^{\xi }}}$, где

${\displaystyle \omega ^{(\xi )},\theta ^{(\xi )}\in {0,1,...,q-1}}$,

${\displaystyle \omega =\sum _{\xi =0}^{m-1}\omega ^{(\xi )}q^{m-1-\xi }}$,

${\displaystyle \theta =\sum _{\xi =0}^{\infty }\theta ^{(\xi )}q^{m-1-\xi }}$,

При ${\displaystyle q=2}$ функции Виленкина — Крестенсона превращаются в функции Уолша.

• Трахтман А. М., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975 г.
• Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. — М.: Наука, 1989 — ISBN 5-02-014094-5

• Наум Яковлевич Виленкин