Признак Дирихле

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов

Рассмотрим функции $f$ и $g$ , определённые на промежутке $[a;b)$ , $a\in \mathbb {R}$ , $b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ и имеющую в точке $b$ особенность (первого или второго рода). Пусть выполнены условия:

интеграл с верхним переменным пределом $\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ определён для всех $x\in [a;b)$ и ограничен на $[a;b)$ ;
функция $g(x)$ монотонна на $[a;b)$ и $\lim _{x\to b-}g(x)=0$ .

Тогда $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ сходится.

Доказательство

Рассмотрим интеграл $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt$ для некоторых $x_{1},x_{2}\in [a;b)$ (не ограничивая общности будем считать $x_{1}\leq x_{2}$ ). Так как $g(t)$ монотонна на $[x_{1};x_{2}]$ , она на нём интегрируема, а значит, и $f(t)g(t)$ интегрируема на $[x_{1};x_{2}]$ как произведение интегрируемых функций.

$f(t)$ — интегрируема, $g(t)$ — монотонна. Условия второй теоремы о среднем выполнены и существует такая точка $\xi \in [x_{1};x_{2}]$ , что

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt

.

Функция $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt$ ограничена на $[a;b)$ , а значит, есть $M\geq 0$ такой, что $\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|\leq M$ , $\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M$ . Тогда:

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|+|g(x_{2})|\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|M+|g(x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)

$g(x)$ мотонно стремится к нулю, следовательно, она ограничена с одной стороны $g(a)$ , а с другой $0$ . Тогда $|g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|$ и

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|

.

$g(x)\to 0$ , что по определению означает

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon

Тогда $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b)$ ( $x_{1}$ берём меньше или равно $x_{2}$ )

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepsilon

,

что есть не что иное, как критерий Коши сходимости несобственного интеграла.

Признак можно сформулировать и для случая, если особенность в точке $a$ . Пусть $a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$ , $b\in \mathbb {R}$ и $f$ определена на $(a;b]$ . В таком случае условия видоизменяются следующим образом:

интеграл с нижним переменным пределом $\int \limits _{x}^{b}f(t)\,dt$ определён для всех $x\in (a;b]$ и ограничен на $(a;b]$ ;
$g(x)$ монотонна на $(a;b]$ и $\lim _{x\to a+}g(x)=0$ .

Тогда $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ сходится.

Необязательно также, что $a<b$ . Если $a>b$ , то $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$ и сходимость $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ равносильна сходимости $\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$ .

Если интеграл удовлетворяет условиям признака Дирихле, то для его остатка верна следующая оценка:

|r_{\xi }|=\left|\int \limits _{\xi }^{b}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(\xi )|

Здесь $\xi$ – произвольное число из промежутка, а $M$ — число, которым ограничен интеграл с верхним переменным пределом. При помощи этой оценки можно приближать значение несобственного интеграла собственным с любой наперёд заданной точностью.

Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{{\sqrt {x}}+\sin x}}\,dx=\infty .

Однако условие монотонности не является необходимым.

\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x+2\sin x}}\,dx

— сходится.

Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ , где $|B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N}$ и последовательность $\{a_{n}\}$ — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

Пусть выполнены условия:

Последовательность частичных сумм $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ ограничена, то есть $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N}$ .
$a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ .
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ сходится.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{n+1}\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad \lim _{n\to \infty }c_{n}=0;

b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow

сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

Оценка остатка ряда Абелева типа
Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: $|r_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ .
Доказательство признака Дирихле вытекает из преобразования Абеля.

Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром

Пусть функция $f$ и $g$ определёны на множестве $[a;b)\times Y$ , $a\in \mathbb {R}$ , $b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ и допускается, что интеграл $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$ для каких-то точек $y\in Y$ имеет особенность в точке $b$ . Пусть выполнены условия:

интеграл с верхним переменным пределом $\int \limits _{a}^{x}f(t,y)\,dt$ определён для всех $x\in [a;b)$ , $y\in Y$ и равномерно ограничен на $[a;b)\times Y$ ;
функция $g(x,y)$ монотонна по $x$ на $[a;b)$ для каждого конкрентого $y\in Y$ и $g(x,y)\rightrightarrows 0$ при $x\to b-$ .

Тогда $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)g(x,y)\,dx$ сходится равномерно.

Доказательство

Доказательство почти идентично случаю интеграла без параметра. Фиксируем $y\in Y$ и далее рассматриваем функции $f(x,y)$ и $g(x,y)$ как функции одной переменной $x$ . Для них делаем всё то же, что и в доказательстве для интегралов без параметра, за исключением того, что $M$ берём одинаковый для всех $y\in Y$ (это возможно сделать по вполне ограниченности). Приходим к

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1},y)|

.

$g(x,y)$ — равномерно стремится к нулю. Запишем определение равномерной сходимости:

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|<\varepsilon

Тогда $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)|<2M\varepsilon

.

Пришли к критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром.

См. также

Признак Абеля

Литература

А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса Теорема Дини
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича