Признак Лобачевского

Признак Лобачевского — признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836.

Формулировка

Пусть $(a_{n})$ есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}

сходится или расходится одновременно с рядом

\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{2^{m}}}

где $N_{m}$ — наименьшее целое, такое что $a_{N_{m}}\leq {\frac {1}{2^{m}}}$ .

Примеры

Для гармонического ряда $a_{n}={\tfrac {1}{n}}$ имеем $N_{m}=2^{m}$ , таким образом ${\frac {N_{m}}{2^{m}}}=1$ и значит второй ряд расходится. Согласно признаку Лобачевского расходится и первый.

Литература

Лобачевского признак — статья из Математической энциклопедии

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса Теорема Дини
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича

Похожие исследовательские статьи

Производя́щая фу́нкция после́довательности — алгебраическое понятие, которое позволяет работать с разными комбинаторными объектами аналитическими методами. Они дают гибкий способ описывать соотношения в комбинаторике, а иногда помогают вывести явные формулы для числа комбинаторных объектов определённого типа.

При́знак д’Аламбе́ра — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

<span class="mw-page-title-main">Ряд (математика)</span> понятие в математическом анализе

Ряд в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

\text{[math]}

Краткая запись:

\text{[math]}

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на $\text{[math]}$ , последний часто может быть найден в явном виде.

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

\text{[math]}

Сходящийся ряд $\text{[math]}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\text{[math]}$ , иначе — сходящимся условно.

Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

\text{[math]}

Рядом Дирихле называется ряд вида

\text{[math]}

Признак Раабе — признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный в 1832 году Йозефом Людвигом Раабе и независимо в 1839 году Жаном-Мари Дюамелем.

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером.

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Виктором Жамэ.

Логарифмический признак сходимости — признак сходимости числовых рядов с положительными членами.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Телескопический признак — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши в 1821 году.

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Ряд обратных простых чисел расходится. То есть:

\text{[math]}

При́знаки сходи́мости числового ряда — методы, позволяющие установить сходимость или расходимость бесконечного ряда $\text{[math]}$

Признак Шлёмильха — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Оскаром Шлёмильхом.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.