При́знак Паска́ля — математический метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».
Общий вид
Пусть есть натуральное число
, записываемое в десятичной системе счисления как
, где
— единицы,
— десятки и т. д.
Пусть
— произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него.
Находим ряд остатков по следующей схеме:
— остаток от деления
на 
— остаток от деления
на 
— остаток от деления
на 
- …
— остаток от деления
на
.
Формально:


Так как остатков конечное число (а именно не больше
), то этот процесс зациклится (не позже, чем через
шагов) и дальше можно его не продолжать: Начиная с некоторого
, где
— получившийся период последовательности
. Для единообразия можно принять, что
.
Тогда
имеет тот же остаток от деления на
, что и число
.
Доказательство
Пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю
можно заменять числа их остатками от деления на
, получаем:






Основные частные случаи
Признак делимости на 2
Здесь
. Так как
, то
. Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2, или обычно: число делится на 2, если его последняя цифра чётна.
Признаки делимости на 3 и 9
Здесь
или
. Так как
(остаток от деления 10 как на 3, так и на 9 равен 1), то все
. Значит, остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления суммы его цифр на 3 (соответственно, 9), или иначе: число делится на 3 (или 9), если сумма его цифр делится на 3 (или 9).
Признак делимости на 4
Здесь
. Находим последовательность остатков:
. Отсюда получаем признак: остаток от деления числа на 4 равен остатку от деления
на 4, или, заметив, что остаток зависит только от 2 последних цифр: число делится на 4, если число, состоящее из 2 его последних цифр, делится на 4.
Признак делимости на 5
Здесь
. Так как
, то
. Отсюда получаем известный признак: остаток от деления числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5, или обычно: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
Признак делимости на 7
Здесь
. Находим остатки.





, цикл замкнулся.
Следовательно, для любого числа

его остаток от деления на 7 равен
.
Пример
Рассмотрим число 48916. По доказанному выше,

,
а значит, 48916 делится на 7.
Признак делимости на 11
Здесь
. Так как
, то все
, а
. Отсюда можно получить простой признак делимости на 11:
- остаток от деления числа на 11 равен остатку от деления его суммы цифр, где каждая нечётная (начиная с единиц) цифра взята со знаком «−», на 11.
Проще говоря:
- если разбить все цифры числа на 2 группы — через одну цифру (в одну группу попадут все цифры с нечётными позициями, в другую — с чётными), сложить все цифры в каждой группе и вычесть одну полученную сумму из другой, то остаток от деления на 11 результата будет такой же, что и у первоначального числа.
Литература