Не следует путать с Признак сгущения Шлёмильха.
Признак Шлёмильха — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Оскаром Шлёмильхом.
Формулировка
Если существует такое
, что начиная с некоторого номера
выполняется неравенство:

то ряд
сходится.
Если же
, начиная с некоторого
, то ряд расходится.
Формулировка в предельной форме
Если существует предел:

то при
ряд сходится, а при
— расходится.
Замечание. Если
, то признак Шлёмильха не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
Сравнение с признаком Раабе
Признак Шлёмильха позволяет установить сходимость некоторых рядов, для которых неприменим признак Раабе[1]. Например, для ряда:
,
соотношение соседних членов:
;
признак Раабе для него даёт:
,
а признак Шлёмильха:

Аналогично, признак Бертрана также подтверждает сходимость этого ряда:
.
Пример неприменимости
Однако, признак Шлёмильха менее чувствителен, чем признак Бертрана. Например, он не позволяет установить сходимость ряда:[1]
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8365c0faca52db9905bce6d105c06c37db25a3df)
Для него соотношение соседних членов:
![{\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2}}}\cdot {\frac {[(n+2)!]^{2}}{n!\cdot (n+3)!}}={\frac {(n+2)^{2}}{n\cdot (n+3)}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e90792c422653c6823fdf816a45c2cd7f21ae33)
Признак Раабе для него даёт:
,
также, как и признак Шлёмильха:

С другой стороны, признак Бертрана однозначно указывает на сходимость этого ряда:
.
Примечания
Литература