Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.
Формулировка
Пусть даны два знакоположительных ряда:
и 
.
Тогда, если, начиная с некоторого места (
), выполняется неравенство:
,то из сходимости ряда
следует сходимость
.
Или же, если ряд
расходится, то расходится и
.
Доказательство
Обозначим
частные суммы ряда
. Из неравенств
следует, что
Поэтому из ограниченности
вытекает ограниченность
а из неограниченности
следует неограниченность
Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для 
Признак сравнения отношений
Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.
Формулировка
Если для членов строго положительных рядов
и
, начиная с некоторого места (
), выполняется неравенство:
,то из сходимости ряда
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
Доказательство
Перемножая неравенства, составленные для
, получаем
или 
Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов
и
(и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).
Предельный признак сравнения
Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.
Формулировка
Если
и
есть строго положительные ряды и
,то при
из сходимости
следует сходимость
, а при
из расходимости
следует расходимость
.
Доказательство
Из
мы знаем, что для любого
существует
такое, что для всех
мы имеем
, или, что то же самое:



Так как
, мы можем взять
достаточно малым, чтобы
было положительным. Но тогда
, и по вышеописанному признаку сравнения если
сходится, то сходится и
.
Точно так же
, и тогда, если
сходится, то сходится и
.
Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.
Литература
- Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
- Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.
Ссылки
 Ссылки на внешние ресурсы |
---|
| |
---|
Словари и энциклопедии | |
---|