Примарная абелева группа

$p$ -примарная абелева группа (где $p$ — фиксированное простое число) — абелева группа $(A,+)$ , такая что порядок любого элемента из $A$ является степенью $p$ .

Примеры

$(\mathbb {Z} _{p^{n}},+)$ — аддитивная группа классов вычетов по модулю $p^{n}$ ;
$(\mathbb {Z} _{p}[x],+)$ — аддитивная группа кольца многочленов над полем $\mathbb {Z} _{p}$ .

Свойства

Любая периодическая абелева группа (то есть группа без элементов бесконечного порядка) разлагается в прямую сумму $p$ -примарных подгрупп.

Примарная абелева группа $(A,+)$ называется элементарной, если все ее ненулевые элементы имеют порядок равный $p$ .

Абелева группа $A$ является $p$ -примарной элементарной тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму групп вида $\mathbb {Z} _{p}$ .

$p$ -высотой элемента $a\in A$ называется наименьшее натуральное число $n$ , такое что $a\in nA$ . Если такого натурального $n$ не существует, то элемент $a$ имеет бесконечную $p$ -высоту.

Критерий Куликова: $p$ -примарная абелева группа $A$ является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда $A$ есть объединение возрастающей цепочки подгрупп

A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=A

где $p$ -высоты ненулевых элементов подгрупп $A_{i}$ меньше фиксированного элемента $k_{n}$ .

Критерий Куликова обобщает теоремы Прюфера:

Первая теорема Прюфера: Ограниченная $p$ -примарная (периодическая) абелева группа является прямой суммой циклических подгрупп.
Вторая теорема Прюфера: Счетная $p$ -примарная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических подгрупп тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевых элементов бесконечной $p$ -высоты.

Литература

Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
Л. Я. Куликов К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник, 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.

Похожие исследовательские статьи

А́белева гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $\text{[math]}$ абелева, если $\text{[math]}$ для любых двух элементов $\text{[math]}$ .

Идеал — одно из основных понятий общей алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других алгебраических структур. Название «идеал» ведёт своё происхождение от «идеальных чисел», которые были введены в 1847 году немецким математиком Э. Э. Куммером. Простейшим примером идеала может служить подкольцо чётных чисел в кольце целых чисел. Идеалы дают удобный язык для обобщения результатов теории чисел на общие кольца.

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений, применяемых в теории групп.

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Градуированная алгебра — алгебра $\text{[math]}$ , разложенная в прямую сумму $\text{[math]}$ своих подпространств $\text{[math]}$ таким способом, что выполняется условие $\text{[math]}$ .

Циклическая группа — группа $\text{[math]}$ , которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a. Математическое обозначение: $\text{[math]}$ .

Теорема Коши в теории групп гласит:

Прямое произведение групп — операция, которая по группам $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ строит новую группу, обычно обозначающуюся как $\text{[math]}$ . Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из основных примеров понятия прямого произведения.

Изоморфизм групп — взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции. Если существует изоморфизм между двумя группами, группы называются изоморфными. С точки зрения теории групп изоморфные группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать.

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если $\text{[math]}$ — группа, то характер — это гомоморфизм из $\text{[math]}$ в мультипликативную группу поля.

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

Мультипликативная группа кольца вычетов по модулю m — мультипликативная группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю m. При этом в качестве множества элементов может рассматриваться любая приведенная система вычетов по модулю m.

Подгру́ппа круче́ния — это подгруппа, образуемая множеством элементов конечного порядка в абелевой группе. Подгруппа кручения абелевой группы $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ . Подгруппой p-кручения $\text{[math]}$ называется множество всех элементов, порядок которых суть некоторая степень p. Подгруппы кручения и p-кручения группы определены однозначно. Любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму вида

\text{[math]}

Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов является обобщением теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп. Эта теорема предоставляет общий способ понимания некоторых результатов о канонических формах матриц.

<span class="mw-page-title-main">Квазициклическая группа</span>

Квазициклическая p-группа, для фиксированного простого числа p — это единственная p-группа, в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p-й степени. Обычно обозначается как Z(p^∞)

В математике свободная абелева группа — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров.

Периодическая группа — группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок. Все конечные группы периодичны. Понятие периодической группы не следует путать с понятием циклической группы.

Делимая группа — это группа $\text{[math]}$ , такая что для любых $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ уравнение

\text{[math]}

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.