Принцип Мопертюи

Перейти к навигации Перейти к поиску

Принцип Мопертюи — принцип, согласно которому консервативная голономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движения^[1]. Назван по имени автора — Пьера Мопертюи.

Формулировка

Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией $E$ и потенциальной энергией $U$ . Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы $\int {\sqrt {E-U}}ds=min$ .

Доказательство

Рассмотрим вариацию $\delta \int {\sqrt {E-U}}ds=\int \left\{{\sqrt {E-U}}\delta ds-{\frac {\delta U}{2{\sqrt {E-U}}}}ds\right\}=0$ . Воспользуемся равенствами $\delta ds={\frac {dx}{ds}}\delta dx$ и $\delta U={\frac {\partial U}{\partial x}}\delta x$ . Получим $\int {\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx-\int {\frac {\frac {\partial U}{\partial x}}{2{\sqrt {E-U}}}}\delta xds=0$ . Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: $\int _{1}^{2}{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx={\Bigl .}{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta x{\Bigr |}_{1}^{2}-\int _{1}^{2}{\frac {d}{ds}}\left\{{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right\}\delta xds$ . Первый член обращается в нуль вследствие вариаций $\delta x$ на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия $\int \left\{{\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right]+{\frac {1}{2{\sqrt {E-U}}}}{\frac {\partial U}{\partial x}}\right\}\delta xds=0$ Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем ${\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right]=-{\frac {1}{2{\sqrt {E-U}}}}{\frac {\partial U}{\partial x}}$ . С учётом равенств $V={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E-U}}$ , $dt={\frac {ds}{V}}={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {ds}{\sqrt {E-U}}}$ получим правильные уравнения движения $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}$ . Этим доказывается справедливость принципа $\int {\sqrt {E-U}}ds=min$ .^[2]

Примечания

↑ Яворский, 2007, с. 114.
↑ Ферми, 1968, с. 15.

Литература

Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике. — М.: Оникс, 2007. — 1056 с. — ISBN 978-5-488-01248-6.

Похожие исследовательские статьи

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Уравне́ние Шрёдингера — линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах.

Теоре́ма Нётер или первая теорема Нётер утверждает, что каждой дифференцируемой симметрии действия для физической системы с консервативными силами соответствует закон сохранения. Теорема была доказана математиком Эмми Нётер в 1915 году и опубликована в 1918 году. Действие для физической системы представляет собой интеграл по времени функции Лагранжа, из которого можно определить поведение системы согласно принципу наименьшего действия. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над физическим пространством.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.

Опера́тор Лапла́са — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом $\text{[math]}$ . Функции $\text{[math]}$ он ставит в соответствие функцию

\text{[math]}

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Лагранжева механика — формулировка классической механики, введённая Луи Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие — интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $\text{[math]}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

\text{[math]}

Ло́ренц-ковариа́нтность — свойство систем математических уравнений, описывающих физические законы, сохранять свой вид при применении преобразований Лоренца. Более точно, всякий физический закон должен представляться релятивистски инвариантной системой уравнений, то есть инвариантной относительно полной ортохронной неоднородной группы Лоренца. Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено.

Задача Кеплера вообще представляет собой проблему отыскания движения двух сферически-симметричных тел, взаимодействующих гравитационно. В классической теории тяготения решение этой проблемы было найдено самим Исааком Ньютоном: оказалось, что тела будут двигаться по коническим сечениям, в зависимости от начальных условий — по эллипсам, параболам или гиперболам. В рамках общей теории относительности (ОТО) с пуристической точки зрения эта задача представляется плохо поставленной, так как модель абсолютно твёрдого тела невозможна в релятивистской физике, а не абсолютно твёрдые тела не будут при взаимодействии сферически-симметричными. Другой подход включает переход к точечным телам, правомерный в ньютоновской физике, но вызывающий проблемы в ОТО. Помимо этого, кроме положений и скоростей тел необходимо задать также и начальное гравитационное поле (метрику) во всём пространстве — проблема начальных условий в ОТО. В силу указанных причин точного аналитического решения задачи Кеплера в ОТО не существует, но есть комплекс методов, позволяющих рассчитать поведение тел в рамках данной задачи с необходимой точностью: приближение пробного тела, постньютоновский формализм, численная относительность.

Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма.

<span class="mw-page-title-main">Гравитационный потенциал</span>

Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, достаточная для полного описания гравитационного поля в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой $\text{[math]}$ . Гравитационный потенциал в данной точке пространства, задаваемой радиус-вектором $\text{[math]}$ , численно равен работе, которую выполняют гравитационные силы при перемещении пробного тела единичной массы по произвольной траектории из данной точки в точку, где потенциал принят равным нулю. Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии $\text{[math]}$ небольшого тела, помещённого в эту точку, к массе тела $\text{[math]}$ . Как и потенциальная энергия, гравитационный потенциал всегда определяется с точностью до постоянного слагаемого, обычно (но не обязательно) подбираемого таким образом, чтобы потенциал на бесконечности оказался нулевым. Например, гравитационный потенциал на поверхности Земли, отсчитываемый от бесконечно удалённой точки (если пренебречь гравитацией Солнца, Галактики и других тел), отрицателен и равен −62,7·10⁶ м²/с² (половине квадрата второй космической скорости).

Интеграл, зависящий от параметра — математическое выражение, содержащее определённый интеграл и зависящее от одной или нескольких переменных («параметров»).

Принцип максимума энтропии утверждает, что наиболее характерными распределениями вероятностей состояний неопределенной среды являются такие распределения, которые максимизируют выбранную меру неопределенности при заданной информации о «поведении» среды. Впервые подобный подход использовал Д.Гиббс для нахождения экстремальных функций распределений физических ансамблей частиц. Впоследствии Э.Джейнсом был предложен формализм восстановления неизвестных законов распределения случайных величин при наличии ограничений из условий максимума энтропии Шеннона.

Параметризация Фейнмана — это метод оценки интегралов по замкнутым контурам, возникающих из диаграмм Фейнмана с одним или несколькими циклами. Однако иногда это полезно при интегрировании в области чистой математики.

Информационная метрика Фишера в информационной геометрии — это особая риманова метрика, которая может быть определена на гладком статистическом многообразии, то есть на гладком многообразии, точки которого являются вероятностными мерами из общего вероятностного пространства. Ее можно использовать для расчета информационной разницы между измерениями.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.