Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.
Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке, — предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства 
можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности, входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса, которые независимо друг от друга её сформулировали и доказали.
Аксио́мой вы́бора, англ. аббр. AC называется следующее высказывание теории множеств:
Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.
Аксиома Архимеда, или принцип Архимеда, или свойство Архимеда — математическое предложение, названное по имени древнегреческого математика Архимеда. Впервые это предложение было сформулировано Евдоксом Книдским в его теории отношений величин :
Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть наименьший элемент. Другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.
Отношение порядка — бинарное отношение между элементами данного множества, по своим свойствам сходное со свойствами отношения неравенства.
Части́чно упоря́доченное мно́жество — математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими. В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за».
Ультрафильтр на решётке 
— это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.
Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, или принцип непрерывности Кантора — фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел.
Теорема Цермело — теорема теории множеств, утверждающая, что на всяком множестве можно ввести такое отношение порядка, что множество будет вполне упорядоченным. Одна из важнейших теорем в теории множеств. Названа в честь немецкого математика Эрнста Цермело. Теорема Цермело эквивалентна аксиоме выбора, а следовательно, и лемме Цорна.
Леммой Гейне — Бореля называется следующий факт, играющий фундаментальную роль в анализе:
- Из всякой бесконечной системы интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечную подсистему, также покрывающую этот отрезок.
Лемма Цорна — одно из утверждений, эквивалентных аксиоме выбора, наряду с теоремой Цермело и принципом максимума Хаусдорфа.
В данной статье рассматриваются различные формулировки и доказывается эквивалентность следующих предложений:
- Аксиома выбора
- Теорема Цермело
- Принцип максимума Хаусдорфа
- Лемма Цорна
Непреры́вность действи́тельных чи́сел — свойство системы действительных чисел 
, которым не обладает множество рациональных чисел 
. Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел. Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду, принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, теорема о точной верхней грани. В зависимости от принятого определения действительного числа, свойство непрерывности может либо постулироваться как аксиома — в той или иной формулировке, либо доказываться в качестве теоремы.
Теорема Алекса́ндера о предбазе — теорема общей топологии, устанавливающая критерий компактности топологического пространства.
В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.
