Приятельские числа

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Приятельские числа — два или более натуральных числа с одинаковым индексом избыточности, отношением суммы делителей чисел и самого числа. Два числа с одинаковой избыточностью образуют приятельскую пару, n чисел с одинаковой избыточностью образуют приятельский n-кортеж.

Быть приятелями является отношением эквивалентности, а потому порождает разбиение положительных натуральных чисел на клубы (классы эквивалентности) попарно приятельских чисел.

Число, не входящее в какую-либо приятельскую пару, называется отшельником.

Индекс избыточности числа n — это рациональное число , в котором означает сумму делителей. Число n является приятельским, если существует такое, что . Заметим, что избыточность, это не то же самое, что избыток, который определяется как .

Избыточность может быть также выражена как , где означает функцию делителя с , равным сумме k-ых степеней делителей n.

Числа от 1 до 5 являются отшельниками. Наименьшее приятельское число — это 6, образующее пару с числом 28 с индексом избыточности , что равно . Общее значение 2 в этом случае целое, что неверно во многих других случаях. Числа с индексом избыточности 2 известны также как совершенные числа. Имеется ряд нерешённых задач, связанных с приятельскими числами.

Вопреки схожести названий, нет прямой связи приятельских чисел и дружественных чисел или компанейских чисел, хотя определения этих чисел тоже используют функцию делителей.

Примеры

В таблице голубые числа доказанно являются приятельскими (последовательность A074902 в OEIS), красные числа доказанно являются отшельниками (последовательность A095739 в OEIS), числа n, взаимно простые с (последовательность A014567 в OEIS), здесь не отмечены цветом, хотя они заведомо являются отшельниками. Остальные числа имеют неизвестный статус и выделены жёлтым фоном.

nnnn
1 1 1 37 38 38/37 73 74 74/73 109 110 110/109
2 3 3/2 386030/197411457/37110216108/55
3 4 4/3 39 56 56/39 75 124 124/75 111 152 152/111
4 7 7/4 40909/47614035/1911224831/14
5 6 6/5 41 42 42/41 77 96 96/77 113 114 114/113
6122429616/77816828/1311424040/19
7 8 8/7 43 44 44/43 79 80 80/79 115 144 144/115
8 15 15/8 448421/118018693/40116210105/58
9 13 13/9 457826/1581 121 121/81 11718214/9
10189/5467236/238212663/4111818090/59
11 12 12/11 47 48 48/47 83 84 84/83 119 144 144/119
12287/34812431/12842248/31203603
13 14 14/13 49 57 57/49 85 108 108/85 121 133 133/121
142412/750 93 93/50 8613266/4312218693/61
15248/5517224/178712040/2912316856/41
16 31 31/16 529849/268818045/2212422456/31
17 18 18/17 53 54 54/53 89 90 90/89 125 156 156/125
183913/65412020/99023413/512631252/21
19 20 20/19 55 72 72/55 9111216/13127 128 128/127
204221/105612015/79216842/23128 255 255/128
21 32 32/21 57 80 80/57 93 128 128/93 129 176 176/129
223618/11589045/299414472/47130252126/65
23 24 24/23 59 60 60/59 9512024/19131 132 132/131
24605/26016814/59625221/813233628/11
25 31 31/25 61 62 62/61 97 98 98/97 133 160 160/133
264221/13629648/3198 171 171/98 134204102/67
27 40 40/27 63 104 104/63 9915652/3313524016/9
2856264 127 127/64 100 217 217/100 136270135/68
29 30 30/29 65 84 84/65 101 102 102/101 137 138 138/137
307212/56614424/1110221636/1713828848/23
31 32 32/31 67 68 68/67 103 104 104/103 139 140 140/139
32 63 63/32 6812663/34104210105/5214033612/5
334816/11699632/2310519264/3514119264/47
345427/177014472/3510616281/53142216108/71
35 48 48/35 71 72 72/71 107 108 108/107 143 168 168/143
36 91 91/36 7219565/2410828070/27144 403 403/144

Другой пример — 30 и 140 образуют приятельскую пару, поскольку 30 и 140 имеют одинаковый индекс избыточности:

Числа 2480, 6200 и 40640 являются членами клуба, так как все три числа имеют индекс избыточности 12/5.

Как пример нечётных приятельских чисел, рассмотрим 135 и 819 (индекс избыточности 16/9). Есть также случаи чётных чисел, приятельских с нечётными, например, 42 и 544635 (индекс 16/7).

Полный квадрат может быть приятельским числом, например, 693479556 (квадрат числа 26334) и число 8640 имеют индекс избыточности 127/36 (этот пример принадлежит Дину Хикерсону).

Числа-отшельники

Числа, принадлежащие клубу из одного элемента, поскольку нет других чисел, приятельских с ними, являются отшельниками. Все простые числа являются отшельниками. Более обще, если числа n и взаимно просты, то есть наибольший общий делитель этих чисел равен 1, а следовательно, является неприводимой дробью, то число n является отшельником (последовательность A014567 в OEIS). Для простого числа p мы имеем , и это число взаимно просто с p.

Неизвестно никакого метода общего вида, определяющего, является число отшельником или приятельским числом. Наименьшее число, классификация которого неизвестна (на 2009) — число 10. Есть предположение, что оно является отшельником, если это не так, его наименьший друг является довольно большим числом, как у числа 24 — хотя число 24 приятельское, его наименьшим другом является число 91.963.648. Для числа 10 нет приятельского числа, меньшего 2.000.000.000[1].

Большие клубы

Открытой проблемой является вопрос, существуют ли бесконечно большие клубы или взаимно приятельские числа. Совершенные числа образуют клуб и есть предположение, что существует бесконечно много совершенных чисел (по меньшей мере столько же, сколько чисел Мерсенна), но доказательств нет. К 2018 году известно 50 совершенных чисел и наибольшее из известных чисел имеет более 46 миллионов цифр в десятичной записи. Существуют клубы с более известными членами, в частности клубы, образованные мультисовершенными числами[англ.], то есть числами, индекс избыточности которых является целым числом. К началу 2013 года клуб приятельских чисел с индексом 9 насчитывал 2094 членов[2]. Хотя известно, что клубы мультисовершенных чисел довольно большие (за исключением самих совершенных чисел), есть предположение, что эти клубы конечны.

Примечания

Литература