Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.
Условия
Рассмотрим набор полиномов с комплексными коэффициентами от переменных
:
![{\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5d14e0db5ca750af2dd30aea7f3a24626e9a5b)
Предположим, что для любого набора
система уравнений

имеет единственное решение
и существуют такие многочлены
,
что каждое
. Предполагается, что многочлены
не зависят от набора свободных членов
. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из
однозначно представляется в виде многочлена от
(и от Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle g_1, g_2, ... g_N} ). Система (1) задаёт полиномиальное отображение
, при котором
.
Отображение
является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение
, переводящее
в

также является полиномиальным.
Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения
)
размера
, в которой на месте
стоит частная производная
. Зададим другое полиномиальное отображение
и рассмотрим их композицию
, матрица Якоби которой равна
.
Вычисляя определители, получаем, что
.
В частности, если заданы полиномиальные отображения
и
, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица
, тогда при переходе к определителю единица равна произведению многочленов, следовательно, эти многочлены равны константам, в частности,

является ненулевой константой.
Формулировка
Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение
вида (2), причем
является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из
в виде многочлена от
?
Результаты
До 2022 года проблема была решена для случая, когда
и степени
не выше 150, а также если
любое, но степени всех многочленов
не выше 2.[1] Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно было доказать его для случая, когда каждое
является многочленом степени не выше 3[1].
Примечания
- ↑ 1 2 Кострикин, «Введение в алгебру», т.1, стр. 259—260
Литература
- В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;