Произведение Громова

Произведение Громова — расстояние, на котором две геодезические стартующих в одной точке начинают существенно расходиться.

Названо в честь Громова.

Произведение Громова используется, в частности для определения метрики на абсолютной границе метрического пространства.

Пусть зафиксирована базисная точка ${\displaystyle x\in X}$ метрического пространства ${\displaystyle (X,d)}$. Тогда, произведением Громова (относительно точки ${\displaystyle x}$) точек ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ этого пространства называется величина

${\displaystyle (y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)).}$

• Произведение Громова неотрицательно и симметрично: ${\displaystyle \forall x,y,z\in X\quad (y,z)_{x}=(z,y)_{x},\quad (y,z)_{x}\geq 0.}$
• Для случая дерева, ${\displaystyle (y,z)_{x}}$ есть длина совпадающей части геодезических путей ${\displaystyle [xy]}$ и ${\displaystyle [xz]}$.
• Для ${\displaystyle \delta }$-гиперболических пространств выполняется неравенство.

  ${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .}$

• Э. Жис, П. Де ля Арп. Гиперболические группы по Михаилу Громову. — М.: Мир, 1992.